Câu 3.21 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giả sử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0.\)

Hãy biểu diễn các biểu thức sau đây qua các hệ số a, b và c

a. \(x_1^2 + x_2^2\) ;

b. \(x_1^3 + x_2^3\) ;

c. \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}}\) ;

d. \(x_1^2 - 4{x_1}{x_2} + x_2^2\)

Giải:

a. \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)

\(= \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - 2\dfrac{c}{a} = \dfrac{{{b^2} - 2ac}}{{{a^2}}}.\)

b. \(x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\(= \dfrac{{3abc - {b^3}}}{{{a^3}}}\)

c. \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\(=  - \dfrac{b}{c}\)

d. \(x_1^2 - 4{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 6{x_1}{x_2}\)

\(= \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{6c}}{a} = \dfrac{{{b^2} - 6ac}}{{{a^2}}}\)

Sachbaitap.com