Câu 3.26 trang 62 SBT Đại số 10 Nâng cao

Các hệ số a, b và c của phương trình trùng phương \(a{x^2} + b{x^2} + c = 0\) phải thỏa mãn điều kiện gì để phương trình đó

a. Vô nghiệm ?

b. Có một nghiệm ?

c. Có hai nghiệm ?

d. Có ba nghiệm ?

e. Có bốn nghiệm ?

Giải:

Đặt \(y = {x^2},\) ta có phương trình bậc hai

\(a{y^2} + by + c = 0\)           (1)

a. Phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu

• Phương trình (1) vô nghiệm, tức là \(\Delta  = {b^2} - 4ac < 0,\) hoặc

• Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm, tức là \(\Delta  \ge 0,ac > 0\) và \(ab > 0\)

(\(\dfrac{c}{a} > 0\) và \({\, - {b \over a} < 0}\))

b. Phương trình trùng phương đã cho có một nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (1) có một nghiệm y = 0, nghiệm kia không dương, tức là c = 0 và ab ≥ 0.

c. Phương trình trùng phương đã cho có hai nghiệm nếu và chỉ nếu

• Phương trình (1) có một nghiệm kép dương, tức là \(\Delta  = 0\) và \(ab < 0,\) hoặc

• Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0.

d. Phương trình trùng phương đã cho có ba nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (1) có một nghiệm y = 0 và nghiệm kia dương, tức là c = 0 và ab < 0.

e. Phương trình trùng phương đã cho có bốn nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (1) có hai nghiệm dương, tức là ∆ > 0, ac > 0 và ab < 0.

Sachbaitap.com