Câu 3.33 trang 63 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho tam giác ABC nhọn có cạnh BC = a, đường cao AH = h. Một hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác (M ∈ AB; N ∈ AC ; P, Q ∈ BC) có chu vi bằng 2p (p là độ dài cho trước). Hãy tính độ dài cạnh PQ của hình chữ nhật MNPQ, biện luận theo p, a, h.

Giải:

Đặt PQ = MN = x (0 < x < a)

Theo định lí Ta-lét ta có (h.3.1)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{AI}}{{AH}}\left( { = \dfrac{{AN}}{{AC}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{\rm{x}}}{a} = \dfrac{{h - IH}}{h} \Rightarrow IH = \dfrac{{\left( {{\rm{a}} - x} \right)h}}{a}\end{array}\)

Điều kiện

\(MN + IH = p\) cho ta phương trình \(x + \dfrac{{\left( {{\rm{a}} - x} \right)h}}{a} = p\) hay\(\left( {{\rm{a}} - h} \right)x = a\left( {p - h} \right)\)   (1)

- Nếu a = h thì phương trình (1) vô nghiệm khi p ≠ h, nghiệm đúng với mọi x khi p = h. Điều này có nghĩa là :

+ Khi tam giác nhọn ABC có AH = BC và p ≠ AH thì không có hình chữ nhật nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.

+ Khi tam giác nhọn ABC có AH = BC và p = AH thì có vô số hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện bài toán với cạnh x (0 < x < a tùy ý).

- Nếu a ≠ h thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{{a\left( {p - h} \right)}}{{a - h}}.\)      (2)

Xét điều kiện 0 < x < a hay

\(0 < \dfrac{{a\left( {p - h} \right)}}{{a - h}} < a\)

Vì a ≠ h nên có hai trường hợp :

+ Nếu a > h, ta có

\((2) ⇔ 0 < p – h < a – h ⇔ h < p < a\)

+ Nếu a < h, ta có

\((2) ⇔ 0 > p – h > a – h ⇔ a < p < h.\)

Điều này có nghĩa là, giá trị \(x = \dfrac{{a\left( {p - h} \right)}}{{a - h}}\) là nghiệm của bài toán khi và chỉ khi p nằm giữa a và h.

Sachbaitap.com