Câu 3.39 trang 64 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải và biện luận các hệ phương trình theo tham số a :

a. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + 2y = 1}\\{x + \left( {a - 1} \right)y = a}\end{array}} \right.\)

b. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a - 2} \right)x + \left( {a - 4} \right)y = 2}\\{\left( {a + 1} \right)x + \left( {3a + 2} \right)y =  - 1}\end{array}} \right.\)

c. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a - 1} \right)x + \left( {2a - 3} \right)y = a}\\{\left( {a + 1} \right)x + 3y = 6}\end{array}} \right.\)

d. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3\left( {x + y} \right)}}{{x - y}} = a}\\{\dfrac{{2x - y - a}}{{y - x}} = 1}\end{array}} \right.\)

Giải:

a. Ta có: \(D = \left( {{\rm{a}} + 1} \right)\left( {{\rm{a}} - 2} \right);\) \({D_x} =  - \left( {{\rm{a}} + 1} \right);\) \({D_y} = \left( {{\rm{a}} - 1} \right)\left( {{\rm{a}} + 1} \right).\)

• Với a ≠ -1 và a ≠ 2 thì D ≠ 0, hệ có nghiệm duy nhất \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{ - 1}}{{a - 2}}}\\{y = \dfrac{{a - 1}}{{a - 2}}}\end{array}} \right.\)

• Với a = -1, hệ đã cho tương đương với phương trình –x + 2y = 1 nên có vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{1 + {\rm{x}}}}{2}}\end{array}} \right.\)

• Với a = 2, hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + 2y = 1}\\{x + y = 2}\end{array}} \right.\) nên vô nghiệm.

b. Với a ≠ 0 và \(a \ne \dfrac{1}{2},\) hệ có nghiệm duy nhất \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{7}{{2{\rm{a}} - 1}}}\\{y = \dfrac{{ - 3}}{{2{\rm{a}} - 1}}}\end{array}} \right.\)

Với a = 0, hệ có vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = \dfrac{{ - 1 - {\rm{x}}}}{2}}\end{array}} \right.\)

Với \(a = \dfrac{1}{2},\) hệ vô nghiệm

c. Với a ≠ 0, a ≠ 2, hệ có nghiệm duy nhất \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{9}{{2{\rm{a}}}}}\\{y = \dfrac{{a - 3}}{{2{\rm{a}}}}}\end{array}} \right.\)

Với a = 0, hệ vô nghiệm.

Với a = 2, hệ vô số nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R}\\{y = 2 - x}\end{array}} \right.\)

d. Điều kiện : x ≠ y. Biến đổi hệ phương trình về dạng :

\(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {3 - a} \right)x + \left( {3 + a} \right)y = 0}\\{3{\rm{x}} - 2y = a}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(D =  - a - 15;\) \({D_x} =  - a\left( {3 + a} \right);\) \({D_y} = a\left( {3 - a} \right)\)

• Với a ≠ -15 thì D ≠ 0, hệ (I) có nghiệm duy nhất \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{a\left( {3 + a} \right)}}{{a + 15}}}\\{y = \dfrac{{a\left( {{\rm{a}} - 3} \right)}}{{a + 15}}}\end{array}} \right.\)

Nhận thấy rằng \(\dfrac{{a\left( {3 + a} \right)}}{{a + 15}} = \dfrac{{a\left( {{\rm{a}} - 3} \right)}}{{a + 15}} \Leftrightarrow {\rm{a}} = 0\)

Nên khi a ≠ 0 thì x ≠ y, khi đó nghiệm của (I) cũng là nghiệm của hệ đã cho.

• Với a = -15 thì \(D = 0;{D_x} \ne 0;{D_y} \ne 0,\) hệ (I) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm.

Kết luận. Với a ≠ 0 và a ≠ -15, hệ có nghiệm duy nhất :

\(\left( {{\rm{x}};y} \right) = \left( {\dfrac{{a\left( {3 + a} \right)}}{{a + 15}};\dfrac{{a\left( {{\rm{a}} - 3} \right)}}{{a + 15}}} \right)\)

Với a = 0 hoặc a = -15, hệ vô nghiệm.

Sachbaitap.com