Câu 3.69 trang 96 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = \cos (3n + 1){\pi  \over 6}.\)

a) Chứng minh rằng \({u_n} = {u_{n + 4}}\) với mọi \(n \ge 1.\)

b) Hãy tính tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Giải

a) Ta có

\( {u_{n + 4}} = \cos \left( {3\left( {n + 4} \right) + 1} \right){\pi  \over 6} \)

\(= \cos \left( {\left( {3n + 1} \right){\pi  \over 6} + 2\pi } \right) = \cos \left( {3n + 1} \right){\pi  \over 6} = {u_n}\)  \(\forall n \ge 1.\)

b) Kí hiệu S là tổng 27 số hạng đầu tiên của dãy số \(({u_n})\). Từ kết quả phần a) , ta được

\(S = 6\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) + {u_1} + {u_2} + {u_3}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Bằng cách tính trực tiếp, ta có: \({u_1} =  - {1 \over 2},{u_2} =  - {{\sqrt 3 } \over 2},{u_3} = {1 \over 2},{u_4} = {{\sqrt 3 } \over 2}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) , ta được : \(S =  - {{\sqrt 3 } \over 2}\)

Sachbaitap.com