Câu 4.24 trang 137 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim {\left( {1,001} \right)^n}\)                 b) \(\lim \left( {{{3.2}^n} - {5^{n + 1}} + 10} \right)\)

c) \(\lim {{{3^n} - 11} \over {1 + {{7.2}^n}}}\)                      d) \(\lim {{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 3} \over {{{3.2}^n} + {{7.4}^n}}}\)

Giải

a) \(\lim {\left( {1,001} \right)^n}= + \infty \)

b) \({3.2^n} - {5^{n + 1}} + 10 = {5^n}\left[ {3{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} - 5 + {{10} \over {{5^n}}}} \right]\) với mọi n

Vì \(\lim {5^n} =  + \infty \) và \(\lim \left[ {3{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} - 5 + {{10} \over {{5^n}}}} \right] =  - 5 < 0\) nên

             \(\lim \left( {{{3.2}^n} - {5^{n + 1}} + 10} \right) =  - \infty \)

c) \( + \infty \)

d) Chia tử và mẫu của phân thức cho \({5^n},\)  ta được

           \({u_n} = {{{2^{n + 1}} - {{3.5}^n} + 3} \over {{{3.2}^n} + {{7.4}^n}}} = {{2{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^2} - 3 + {3 \over {{5^n}}}} \over {3{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} + 7{{\left( {{4 \over 5}} \right)}^n}}}\) với mọi n

Vì \(\lim \left[ {2{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} - 3 + {3 \over {{5^n}}}} \right] =  - 3 < 0,\)

\(\lim \left[ {3{{\left( {{2 \over 5}} \right)}^n} + 7\left( {{4 \over 5}} \right)^n} \right] = 0\)

và \(3{\left( {{2 \over 5}} \right)^n} + 7\left( {{4 \over 5}} \right) ^n> 0\) với mọi n nên \(\lim {u_n} =  - \infty \)

Sachbaitap.com