Câu 4.25 trang 105 SBT Đại số 10 Nâng cao

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O có bán kính R (R > 0). Trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó.

Hãy xác định tọa độ của A và B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.

Giải:

Ta có

\(\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OI.AB = \dfrac{{\rm{R}}}{2}.AB;\\AB = IA + IB \ge 2\sqrt {IA.IB}  = 2\sqrt {{\rm{O}}{I^2}}  = 2{\rm{R}};\\AB = 2{\rm{R}} \Leftrightarrow IA = IB = R.\end{array}\)

Lúc đó tam giác OAB vuông cân tại O,

Cạnh huyền \(AB = 2R.\)

\(OA = OB = R\sqrt 2 \)

Suy ra \({S_{OAB}} \ge \dfrac{{\rm{R}}}{2}.2{\rm{R}} = {R^2}.\)

Vậy \({S_{OAB}}\) nhỏ nhất bằng \({R^2}\) khi \(OA = OB = R\sqrt 2 .\) Khi đó tọa độ \(A\left( {{\rm{R}}\sqrt 2 ;0} \right)\) và \(B\left( {0;R\sqrt 2 } \right).\)

Sachbaitap.com