Xem thêm: Bài 2, 3, 4: Hai đường thẳng vuông góc. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a. Tính:
a) Các góc giữa các mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp.
b) Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp.
Trả lời
a) Dễ thấy
\(\eqalign{ & \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \cr & \left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \cr} \)
nên góc giữa mặt bên (SAB) và (SAD) với mp(ABCD) bằng 90°.
Ta có \(\left( {S{\rm{D}}A} \right) \bot C{\rm{D}}\) và SDA là tam giác vuông tại A nên \(\widehat {S{\rm{D}}A}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD).
Từ đó: \(\tan \widehat {S{\rm{D}}A} = {1 \over 2}\)
Tương tự, \(\tan \widehat {SBA} = 1 \Leftrightarrow \widehat {SBA} = {45^0}\).
Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc bằng φ mà \(\tan \varphi = {1 \over 2}\) và mp(SBC) tạo với mp(ABCD) góc 45°.
b) Vì \(\left( {SA{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) nên góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90°.
Ta cũng có \(C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\) nên \(\left( {SC{\rm{D}}} \right) \bot SA{\rm{D}}\). Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng 90°. Tương tự, ta cũng có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 90°.
Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC).
Trong mp(ABCD), kẻ A qua đường thẳng vuông góc với AC, nó cắt hai đường thẳng BC và DC lần lượt tại I và J, thì \({\rm{IJ}} \bot {\rm{SC}}\).
Trong mp(SAC) kẻ \(A{C_1} \bot SC\) thì \(\left( {IJ{C_1}} \right) \bot SC\) .
Do đó, \(\widehat {I{C_1}J}\) hoặc \({180^0} - \widehat {I{C_1}J}\) là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Ta có:
\(\eqalign{ & AJ = AC\tan \widehat {ACD} = 2a\sqrt 5 \cr & {1 \over {AC_1^2}} = {1 \over {A{S^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {5{a^2}}} = {6 \over {5{a^2}}} \cr & \Rightarrow A{C_1} = {{a\sqrt 5 } \over {\sqrt 6 }} \cr} \)
Đặt \(\widehat {A{C_1}J} = \alpha \) thì \(\tan \alpha = {{AJ} \over {A{C_1}}} = {{2a\sqrt 5 } \over {{{a\sqrt 5 } \over {\sqrt 6 }}}} = 2\sqrt 6 \)
Đặt \(\widehat {A{C_1}I} = \beta \) thì \(\tan \beta = {{AI} \over {A{C_1}}} = {{AC\tan \widehat {ACI}} \over {A{C_1}}} = {{a\sqrt 5 .{1 \over 2}} \over {{{a\sqrt 5 } \over {\sqrt 6 }}}} = {{\sqrt 6 } \over 2}\)
Đặt \(\widehat {I{C_1}J} = \varphi \) thì \(\tan \varphi = {{2\sqrt 6 + {{\sqrt 6 } \over 2}} \over {1 - 2\sqrt 6 .{{\sqrt 6 } \over 2}}} = - {{\sqrt 6 } \over 2}\)
Vậy góc giữa mp(SBC) và (SCD) là \({180^0} - \varphi \) mà \(\tan \varphi = {{ - \sqrt 6 } \over 2}\).
Sachbaitap.com
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục