Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4.70 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 4.70 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho phương trình :

\(\left( {m - 2} \right){x^4} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 2m - 1 = 0.\)

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình trên có :

a. Một nghiệm ;

b. Hai nghiệm phân biệt ;

c. Bốn nghiệm phân biệt.

Giải:

a. + Với \(m = 2\), phương trình đã cho trở thành :

\( - 6{{ {x}}^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow {{ {x}}^2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow { {x}} =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

Phương trình có hai  nghiệm, nên không thảo mãn yêu cầu đầu bài.

+ Với m ≠ 2, đặt \(t = {x^2} \ge 0,\) ta được phương trình

\(f\left( t \right) = \left( {m - 2} \right){t^2} - 2\left( {m + 1} \right)t + 2m - 1 = 0. \,\,(*)\)

Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm thì phương trình (*) hoặc có nghiệm kép \(t = 0\) hoặc có một nghiệm âm, còn nghiệm thứ hai bằng 0.

Xét \(t = 0\). Khi đó \(f\left( 0 \right) = 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}.\) Thay \(m = \dfrac{1}{2}\) vào (*) ta được :

\(f\left( t \right) = t\left( { - \dfrac{3}{2}t - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0}\\{t =  - 2.}\end{array}} \right.\)

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm (để phương trình đã cho có một nghiệm).

b. \(m = \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2},m \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right].\) Hướng dẫn. Rõ ràng với \(m = 2\) phương trình có hai nghiệm \(x =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) .

Với \(m ≠ 2.\)

Để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thì phương trình (*) hoặc có nghiệm kép dương hoặc có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

- Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(ac < 0\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {2m - 1} \right) < 0\) hay \(\dfrac{1}{2} < m < 2\)

- Phương trình (*) có nghiệm kép dương khi và chỉ khi \(∆’ = 0\) và \( - \dfrac{b}{{2{ {a}}}} > 0.\)

\(\begin{array}{l}\Delta ' =  - {m^2} + 7m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2};\\ - \dfrac{b}{{2{ {a}}}} = \dfrac{{m + 1}}{{m - 2}} > 0 \Leftrightarrow m <  - 1\,hoac\,m > 2.\end{array}\)

Chỉ có \(m = \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}\) thỏa mãn hai điều kiện trên.

c. \(2 < m < \dfrac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}.\)

Hướng dẫn. Tìm \(m\) để phương trình \(f(t) = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt. Điều kiện cần và đủ là \(∆’ > 0, S > 0\) và \(P > 0.\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan