Câu 4.8 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm \(\lim {u_n}\) với

a) \({u_n} = {{2{n^5} - 7{n^2} - 3} \over {n - 3{n^5}}}\)                b) \({u_n} = {{2{n^2} - n + 4} \over {\sqrt {2{n^4} - {n^2} + 1} }}\) 

c) \({u_n} = {{{n^3} - {n^2}\sin 3n - 1} \over {2{n^4} - {n^2} + 7}}\)           d) \({u_n} = {{{{7.2}^n} + {4^n}} \over {{{2.3}^n} + {4^n}}}\)

e) \({u_n} = {{{{5.2}^n} - {3^n}} \over {{2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}}}\)                f) \({u_n} = \sqrt {{{{n^6} + 3{n^3} - 3} \over {2{n^6} + {n^5} + 2}}} \)

Giải

a) \(\lim {u_n} = \lim {{2 - {7 \over {{n^3}}} - {3 \over {{n^5}}}} \over {{1 \over {{n^4}}} - 3}} =  - {2 \over 3}\)                                       

b) \(\lim {u_n} = \lim {{2 - {1 \over n} + {4 \over {{n^2}}}} \over {\sqrt {2 - {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^4}}}} }} = {2 \over {\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)               

c) \(\lim {u_n} = \lim {{{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}\sin 3n - {1 \over {{n^4}}}} \over {2 - {1 \over {{n^2}}} + {7 \over {{n^4}}}}} = 0\)                       

d) \(\lim {u_n} = \lim {{7.{{\left( {{2 \over 4}} \right)}^n} + 1} \over {2.{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} + 1}} = 1\)

e) Chia tử và mẫu của phân thức cho \({3^n},\) ta được                                

                         \({u_n} = {{5{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} - 1} \over {2{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^n} + 3}}\)

Vì  \(\lim {\left( {{2 \over 3}} \right)^n} = 0\) nên \(\lim {u_n} = {{5.0 - 1} \over {2.0 - 3}} =  - {1 \over 3}\)                        

f) Dễ dàng tìm được

                        \(\lim {{{n^6} + 3{n^3} - 3} \over {2{n^6} + {n^5} + 2}} = {1 \over 2}\)

Do đó

                        \(\lim \sqrt {{{{n^6} + 3{n^3} - 3} \over {2{n^6} + {n^5} + 2}}}  = \sqrt {{1 \over 2}}  = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

Sachbaitap.com