Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4.87 trang 117 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 4.87 trang 117 SBT Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu các số a, b, c đều dương thì :

a. \(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9abc\)

b. \(\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c\)

c. \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}\)\( \ge \dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}}\)

Giải:

a. Do \(a, b, c > 0\) nên \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}.\)

Suy ra \(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}} = 9abc.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)

b. áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có

\(\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{bc}}{a} \ge 2b;\) \(\dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge 2a;\) \(\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} \ge 2c,\) nên

\(\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c.\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

c. \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} \ge a;\) \(\dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} \ge b;\) \(\dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge c.\)

Do đó \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)

Mặt khác từ bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) và \(x, y > 0\) ta suy ra :

\(\dfrac{{2ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{a + b}}{2};\) \(\dfrac{{2bc}}{{b + c}} \le \dfrac{{b + c}}{2};\) \(\dfrac{{2ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{c + a}}{2}.\)

Cộng từng vế các bất đẳng thức và chia hai vế cho 2 ta được

\(\dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c.\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan