Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4.88 trang 117 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 4.88 trang 117 SBT Đại số 10 Nâng cao

Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :

a. \(P = \left| {x + 1} \right| + \left| {2x + 5} \right| + \left| {3x - 18} \right|;\)

b. \(Q = \left| {x - 1} \right| + \left| {y - 2} \right| + \left| {z - 3} \right|\) với \(\left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| = 2006.\)

Giải:

a. Ta có thể viết

\(P = \left| {x + 1} \right| + \left| {2x + 5} \right| + \left| {18 - 3x} \right|\)

\(\ge \left| {\left( {x + 1} \right) + \left( {2x + 5} \right) + \left( {18 - 3x} \right)} \right| = 24\)

(áp dụng bất đẳng thức \(\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| \ge \left| {a + b + c} \right|\)).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left( I \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ge 0}\\{2x + 5 \ge 0}\\{18 - 3x \ge 0}\end{array}} \right.\)

hoặc \(\left( {II} \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \le 0}\\{2x + 5 \le 0}\\{18 - 3x \le 0.}\end{array}} \right.\)

Hệ (I) có nghiệm \( - 1 \le x \le 6;\) Hệ (II) vô nghiệm.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 24 khi \(-1 ≤ x ≤ 6.\)

b. áp dụng bất đẳng thức \(\left| {a - b} \right| \ge \left| a \right| - \left| b \right|\) ta được

\(\begin{array}{l}\left| {x - 1} \right| \ge \left| x \right| - 1,\\\left| {y - 2} \right| \ge \left| y \right| - 2,\\\left| {z - 3} \right| \ge \left| z \right| - 3.\end{array}\)

Do đó \(Q \ge \left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right| - 6 = 2006 - 6 = 2000.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x – 1 ≥ 0 ;\)\( y – 2 ≥ 0 ;\)\( z – 3 ≥ 0\) và \(x + y + z = 2006.\)

Chẳng hạn \(x = 2000 ; y = z = 3\) thì \(\left| {x - 1} \right| = 1999;\left| {y - 2} \right| = 1;\left| {z - 3} \right| = 0.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2000.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan