Câu 54 trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao

54. Trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao

Cho hai phép vị tự V₁ có tâm O₁ tỉ số k₁ và V₂ có tâm O₂ tỉ số k₂. Gọi F là hợp thành của V₁ và V₂. Chứng minh rằng:

a) F là một phép tịnh tiến nếu k₁k₂ = 1. Hãy xác định vec tơ tịnh tiến.

b) F là một phép vị tự nếu k₁k₂ 1. Hãy xác định tâm và tỉ số của phép vị tự đó.

Giải

Lấy một điểm M bất kỳ, nếu V₁ biến M thành M₁ và V₂ biến M₁ thành M₂ thì \(\overrightarrow {{O_1}{M_1}}  = {k_1}\overrightarrow {{O_1}M} \) và \(\overrightarrow {{O_2}{M_2}}  = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{M_1}} \).

Khi đó, phép hợp thành F biến M thành M₂. Gọi I là ảnh của O₁ qua phép vị tự V₂, tức là \(\overrightarrow {{O_2}I}  = {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}} \).

Khi đó \(\overrightarrow {I{M_2}}  = {k_2}\overrightarrow {{O_1}{M_1}}  = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \).

a) (h.33)

Nếu k₁k₂ = 1 thì \(\overrightarrow {I{M_2}}  = \overrightarrow {{O_1}M} \) nên \(\overrightarrow {M{M_2}}  = \overrightarrow {{O_1}I}  = \overrightarrow {{O_1}{O_2}}  + \overrightarrow {{O_2}I}  = \left( {1 - {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \).

Vậy trong trường hợp này F là phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1 - {k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \).

b) (h.34)

Nếu k₁k₂ \(\ne\) 1 ta chọn điểm O₃ sao cho \(\overrightarrow {{O_3}I}  = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \)

Khi đó \(\overrightarrow {{O_3}{M_2}}  = \overrightarrow {{O_3}I}  + \overrightarrow {I{M_2}} \)

\( = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}}  + {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_1}M} \)

\( = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}M} \)

Vậy F là phép vị tự tâm O₃ tỉ số \({k_1}{k_2}\).

Chú ý rằng tâm O₃ của phép vị tự đó được xác định bởi đẳng thức:

\(\overrightarrow {{O_3}I}  = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \)

Hay \(\overrightarrow {{O_3}{O_1}}  + \overrightarrow {{O_1}{O_2}}  + \overrightarrow {{O_2}I}  = {k_1}{k_2}\overrightarrow {{O_3}{O_1}} \).

Suy ra: \(\overrightarrow {{O_1}{O_2}}  + {k_2}\overrightarrow {{O_2}{O_1}}  = \left( {1 - {k_1}{k_2}} \right)\overrightarrow {{O_1}{O_3}} \).

Do đó: \(\overrightarrow {{O_1}{O_3}}  = {{1 - {k_2}} \over {1 - {k_1}{k_2}}}\overrightarrow {{O_1}{O_2}} \).

Cũng chú ý rằng tâm của ba phép vị tự V₁, V₂ và F là ba điểm thẳng hàng O₁, O₂ và O₃.

sachbaitap.com