Câu 5.42 trang 186 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số):

a) \(f'\left( x \right) = 0\) biết \(f\left( x \right) = {{m{x^4}} \over 4} - \left( {m + 2} \right){{{x^3}} \over 3} + {{5{x^2}} \over 2} - 3x + 1\)

b) \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = m\) biết \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x - 8} \)

Giải

a) Với mọi \(x \in R\), ta có

\(\eqalign{& f'\left( x \right) = m{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + 5x - 3  \cr& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow m{x^3} - \left( {m + 2} \right){x^2} + 5x-3=0\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Thử thấy \(x = 1\) là một nghiệm, nên ta có thể viết (1) dưới dạng

\(\eqalign{& \left( {x - 1} \right)\left( {m{x^2} - 2x + 3} \right) = 0  \cr&  \Leftrightarrow \left[ \matrix{x=1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2a} \right) \hfill \cr m{x^2} - 2x + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2b} \right) \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Ta hãy giải phương trình (2b). Xét hai trường hợp

\( \bullet \) Với \(m = 0\) thì \(\left( {2b} \right) \Leftrightarrow x = {3 \over 2}\)

\( \bullet \) Với \(m \ne 0\) thì

                        \(\left( {2b} \right) \Leftrightarrow x = {{1 \pm \sqrt {1 - 3m} } \over m}\) (Với điều kiện \(0 \ne m \le {1 \over 3}\) )

Kết luận

+ Với \(m > {1 \over 3}\), phương trình có nghiệm \({x_0} = 1\)

+ Với \(m = 0\), phương trình có nghiệm  \({x_0} = 1\) và \({x_1} = {3 \over 2}\)

+ Với \(0 \ne m \le {1 \over 3}\), phương trình có các nghiệm là

                        \({x_0} = 1,{x_1} = {{1 - \sqrt {1 - 3m} } \over m}\) và \({x_2} = {{1 + \sqrt {1 - 3m} } \over m}\)

b) Để hàm số đã cho cá đạo hàm thì ta phải có

                        \({x^2} - 2x - 8 > 0 \Leftrightarrow x <  - 2\) hoặc \(x > 4.\)

Với điều kiện \(x <  - 2\) hoặc \(x > 4,\) ta có

                        \(f'\left( x \right) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}\)

Phương trình

\(\eqalign{& f\left( x \right).f'\left( x \right) = m\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x <  - 2\text{ hoặc }x > 4 \hfill \cr{{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x - 8} }}.\sqrt {{x^2} - 2x - 8}  = m \hfill \cr}  \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{\matrix{x <  - 2\text{ hoặc }x > 4 \hfill \cr x - 1 = m \hfill \cr}  \right.  \cr&  \Leftrightarrow \left[ \matrix{\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr1 + m <  - 2 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr1 + m > 4 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr m <  - 3 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr\left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr m > 3 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 + m \hfill \cr\left| m \right| > 3 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Kết luận

+ Với \(\left| m \right| \le 3\) thì phương trình đã cho vô nghiệm.

+ Với \(\left| m \right| > 3\) thì phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 1 + m.\)

Sachbaitap.com