Câu 57 trang 98 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc với CD (M thuộc BC và N thuộc CD). Chứng minh rằng tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.

Giải:

Trường hợp góc B nhọn :

Xét ∆ AMB và ∆ AND, ta có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ \)

\(\widehat B = \widehat D\) (tính chất hình bình hành)

Suy ra: ∆ AMB đồng dạng ∆ AND (g.g)

Suy ra:

  \(\eqalign{  & {{AM} \over {AN}} = {{AB} \over {AD}}  \cr  &  \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}} \cr} \)

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)

Suy ra: \({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\)

Lại có: AB // CD (gt)

AN ⊥ CD (gt)

Suy ra: AN ⊥ AB hay góc NAB = 90°

Suy ra: \(\widehat {NAM} + \widehat {MAB} = 90^\circ \)   (1)

Trong tam giác vuông AMB ta có: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {MAB} + \widehat B = 90^\circ \)               (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\widehat {NAM} = \widehat B\)

Xét ∆ ABC và ∆ MAN, ta có:

\({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\)  (chứng minh trên )

 \(\widehat {NAM} = \widehat B\) (chứng minh trên )

Vậy ∆ ABC đồng dạng ∆ MAN (c.g.c)

Trường hợp góc B tù:

Xét ∆ AMB và ∆ AND, ta có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ADN}\) (vì cùng bằng góc C)

Suy ra: ∆ AMB đồng dạng ∆ AND (g.g)

Suy ra: \({{AM} \over {AN}} = {{AB} \over {AD}} \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}}\)

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành )

Suy ra: \({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\)

Vì AB // CD nên \(\widehat {ABC} + \widehat C = 180^\circ \)                 (3)

Tứ giác AMCN có \(\widehat {AMC} = \widehat {AND} = 90^\circ \)

 Suy ra: \(\widehat {MAN} + \widehat C = 180^\circ \)                              (4)

Từ (3) và (4) suy ra : \(\widehat {MAN} = \widehat {ABC}\)

Xét ∆ MAN và ∆ ABC, ta có:

\({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}\) (chứng minh trên )

 \(\widehat {MAN} = \widehat {ABC}\) (chứng minh trên )

Vậy ∆ MAN đồng dạng ∆ ABC (c.g.c)

Sachbaitap.com