Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 6.43 trang 204 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu

Giải bài tập Câu 6.43 trang 204 SBT Đại số 10 Nâng cao

a) Tính \(x = \cos \dfrac{{2\pi }}{5}\) bằng “phương pháp hình học” như sau:

Xét tam giác cân ABC với \(\widehat B = \widehat C = \dfrac{{2\pi }}{5}\), kẻ đường phân giác BD của tam giác đó. Từ tính chất  \(\dfrac{{BC}}{{BA}} = \dfrac{{DC}}{{DA}}\) (h. 6.7) hãy suy ra \(4{x^2} + 2x - 1 = 0\).

b) Từ đó tính \(\cos \dfrac{\pi }{5},\sin \dfrac{\pi }{5},\tan \dfrac{\pi }{5}\).

c) Tính sin, côsin, tang của \({18^0}\)

d) Viết \(6 = 36 - 30\), tính sin, côsin của \({6^0}\). Thử lại bằng má tính bỏ túi.

 

Giải:

a) Dễ thấy \(BC = BD = AD\), nên đặt \(BC = a,AB = b\) thì \(\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{a}{{2b}}.\)     (1)

Ta có \(\dfrac{{DC}}{{DA}} = \dfrac{{BC}}{{BA}}\) suy ra \(\dfrac{{b - a}}{a} = \dfrac{a}{b}\), tức là \(\dfrac{{1 - \dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{a}{b}}} = \dfrac{a}{b}.\)          (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\dfrac{{1 - 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}}}{{2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}}} = 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5}\) hay

\(4{\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{5} + 2\cos \dfrac{{2\pi }}{5} - 1 = 0\), tức là \(4{x^2} + 2x - 1 = 0\).          (3)

b) Giải phương trình (3), ta được \(x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}\) hoặc \(x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4}\) .

Từ đó \(\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} < 0\) (loại) hoặc \(\cos \dfrac{{2\pi }}{5} = \dfrac{{\sqrt 5  - 1}}{4}.\) Suy ra

\(\begin{array}{l}\cos \dfrac{\pi }{5} = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \dfrac{{2\pi }}{5}}}{2}}  = \sqrt {\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{8}}  = \dfrac{{\sqrt 5  + 1}}{4};\\sin\dfrac{\pi }{5} = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \dfrac{{2\pi }}{5}}}{2}}  = \sqrt {\dfrac{{10 - 2\sqrt 5 }}{4}} ;\\\tan \dfrac{\pi }{5} = \dfrac{{\sin \dfrac{\pi }{5}}}{{\cos \dfrac{\pi }{5}}} = \sqrt {5 - r\sqrt 5 .} \end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\sin {18^0} = \sin \dfrac{\pi }{{10}} = \sin \left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{5}} \right)\\ = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos \dfrac{\pi }{5}}}{2}}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {2\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} .\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos {18^0} = \cos \dfrac{\pi }{{10}} = \cos \left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{5}} \right)\\ = \sqrt {\dfrac{{1 + \cos \dfrac{\pi }{5}}}{2}}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {2\left( {5 + \sqrt 5 } \right)} .\end{array}\)

\(\tan {18^0} = \dfrac{{\sin {{18}^0}}}{{\cos {{18}^0}}} = \sqrt {1 - \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}} .\)

d)

\(\begin{array}{l}\sin {6^0} = \sin \left( {{{36}^0} - {{30}^0}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ = \sin \dfrac{\pi }{5}\cos \dfrac{\pi }{6} - \cos \dfrac{\pi }{5}\sin \dfrac{\pi }{6}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \dfrac{\pi }{5} - \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\pi }{5}\\ = \dfrac{1}{8}\left[ {\sqrt {6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}  - \left( {\sqrt 5  + 1} \right)} \right]\left( { \approx 0,1045} \right).\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\cos {6^0} = \cos \left( {{{36}^0} - {{30}^0}} \right) = \cos \left( {\dfrac{\pi }{5} - \dfrac{\pi }{6}} \right)\\ = \cos \dfrac{\pi }{5}\cos \dfrac{\pi }{6} + \sin \dfrac{\pi }{5}\sin \dfrac{\pi }{6}\\ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \dfrac{\pi }{5} + \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{5}\\ = \dfrac{1}{8}\left[ {\sqrt 3 \left( {\sqrt 5  + 1} \right) + \sqrt {2\left( {5 - \sqrt 5 } \right)} } \right]\left( { \approx 0,9945} \right).\end{array}\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan