Câu 70 trang 63 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

a) \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0\)

b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x = {x^2} + 3\)

Giải

a)

\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 = 0 \cr} \)

Đặt \({x^2} - 2x = t,\) ta có phương trình: \({t^2} - 2t - 3 = 0\)

Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)

\({t_1} =  - 1;{t_2} =  - {{ - 3} \over 1} = 3\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \)

Phương trình có nghiệm số kép: x₁ = x₂ = 1

\({x^2} - 2x = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)

Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)

\({x_1} =  - 1;{x_2} =  - {{ - 3} \over 1} = 3\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} =  - 1;{x_3} = 3\)

b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x = {x^2} + 3,\) ta có: \({x^2} + x + 1 = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 - 3\sqrt {{x^2} + x + 1}  + 2 = 0\)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + x + 1}  = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} - 3t + 2 = 0\)

Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\)

\({t_1} = 1;{t_2} = 2\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1} = 1 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 1 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr 
{x = - 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \)

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 4 \cr
& \Rightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \cr
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 1 + 12 = 13 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {13} \cr
& {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \cr
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \cr} \)

Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2};{x_4} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\)

Sachbaitap.com