Bài 10 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(Q(2 ; 3)\) và cắt các tia \(Ox, Oy\) tại hai điểm \(M, N\) khác điểm \(O\) sao cho \(OM+ON\) nhỏ nhất.

Giải

Giả sử \(M=(m ; 0), N=(0 ; n)\) với \(m, n >0\). Phương trình của \(\Delta \) là \( \dfrac{x}{m} +  \dfrac{y}{n} = 1\).

\(Q \in \Delta    \Rightarrow    \dfrac{2}{m} +  \dfrac{3}{n} = 1    \Rightarrow    n =  \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\) (dễ thấy \(m \ne 2\)). Do \(n > 0\) nên \(m > 2.\)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có

\(\begin{array}{l}OM + ON = m + n = m +  \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\\= m - 2 +  \dfrac{6}{{m - 2}} + 5\\ \ge 2\sqrt {(m - 2) \dfrac{6}{{m - 2}}}  + 5 = 2\sqrt 6  + 5\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(m - 2 =  \dfrac{6}{{m - 2}}\) hay \(m = 2 + \sqrt 6 \) (do \(m > 0\)).

Suy ra \(n = 3 + \sqrt 6 \). Vậy \(OM+ON\) nhỏ nhất bằng \(2\sqrt 6  + 5\) khi \(m = 2 + \sqrt 6 \) và \(n = 3 + \sqrt 6 \). Khi đó phương trình của \(\Delta \) là \( \dfrac{x}{{2 + \sqrt 6 }} =  \dfrac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\).

Sachbaitap.com