Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 11 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
3 trên 4 phiếu

Giải bài tập Bài 11 trang 101 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho điểm \(M(a; b)\) với \(a > 0, b > 0\). Viết phương trình đường thẳng qua \(M\) và cắt các tia \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A, B\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích nhỏ nhất.

Giải

(h.95).

 

Gọi \(A(x_0 ; 0), B(0 ; y_0).\)

Khi đó, \(x_0 > 0, y_0 > 0\). Phương trình đường thẳng AB là \( \dfrac{x}{{{x_0}}} +  \dfrac{y}{{{y_0}}} = 1\).

\(\begin{array}{l}M \in AB   \Rightarrow    \dfrac{a}{{{x_0}}} +  \dfrac{b}{{{y_0}}} = 1.\\{S_{OAB}} =  \dfrac{1}{2}.OA.OB =  \dfrac{1}{2}{x_0}.{y_0}.\end{array}\)

Ta có

\(1 =  \dfrac{a}{{{x_0}}} +  \dfrac{b}{{{y_0}}} \ge 2\sqrt { \dfrac{{ab}}{{{x_0}{y_0}}}}\)

\(\Rightarrow {x_0}{y_0} \ge 4ab\).

Do đó \({S_{OAB}} =  \dfrac{1}{2}{x_0}{y_0} \ge  \dfrac{1}{2}.4ab = 2ab\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( \dfrac{a}{{{x_0}}} =  \dfrac{b}{{{y_0}}} =  \dfrac{1}{2}\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.\).

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) nhỏ nhất bằng 2ab khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 2a\\{y_0} = 2b\end{array} \right.\). Phương trình đường thẳng cần tìm là \( \dfrac{x}{{2a}} +  \dfrac{y}{{2b}} = 1\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan