Bài 14 trang 40 SBT Hình học 10 Nâng cao

Tam giác \(ABC\) có \(AB=c, BC=a, AC=b.\)

a) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

b) Tính độ dài trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC.\)

Giải

a)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \\ = \dfrac{1}{2}(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} {|^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} - {\overrightarrow {BC} ^2})\\= \dfrac{1}{2}({\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} - {\overrightarrow {BC} ^2})\\ = \dfrac{1}{2}({b^2} - {c^2} - {a^2}).\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\  = \dfrac{1}{2}[{\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} - {(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} )^2}]\\= \dfrac{1}{2}({\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {CB} ^2})\\ = \dfrac{1}{2}({c^2} + {b^2} - {a^2}).\end{array}\)

b) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên :

\(\begin{array}{l}A{M^2} = {\overrightarrow {AM} ^2} = \dfrac{1}{4}{(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )^2}\\ = \dfrac{1}{4}({\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {AC} ^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} )\\= \dfrac{1}{4}({c^2} + {b^2} + {c^2} + {b^2} - {a^2})\\ = \dfrac{1}{4}(2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}).\end{array}\)

Vậy \(AM = \dfrac{1}{2}\sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} .\)

Sachbaitap.com