Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 17 trang 40 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 17 trang 40 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hai điểm cố định \(A ,B\) có khoảng cách bằng \(a.\)

a) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = k\).

b) Tìm tập hợp các điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = 2{a^2}\).

Giải:

a) Gọi \(O\) là trung điểm cả \(AB\) thì \(\overrightarrow {OA}  =  - \overrightarrow {OB} \).

Với moi điểm \(M\) ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \\ = (\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} ).(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} )\\ = (\overrightarrow {MO}  - \overrightarrow {OB} ).(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} )\\= M{O^2} - O{B^2} \\= M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}.\end{array}\)

Từ đó

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = k \)

\(\Leftrightarrow M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = k\)

\(\Leftrightarrow   M{O^2} =  \dfrac{{{a^2}}}{4} + k.  (*)\)

Ta có \(O\) cố định, \(\dfrac{{{a^2}}}{4} + k\) là số không đổi nên:

- Nếu \(k <  - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm \(M\) là tập các điểm rỗng.

- Nếu \(k =  - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm \(M\) chỉ gồm một điểm \(O\).

- Nếu \(k >  - \dfrac{{{a^2}}}{4}\) thì tập các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4k} .\)

b) Lấy điểm \(C\) sao cho \(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AB} \). Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2{\overrightarrow {AB} ^2} = 2{a^2}.\)

Từ đó có \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = 2{a^2}\\\Leftrightarrow    \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\\Leftrightarrow    \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AC} ) = 0\\\Leftrightarrow  \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CN}  = 0    \Leftrightarrow    CN \bot AB.\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm \(N\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại điểm \(C.\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan