Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 21 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 21 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=c, BC=a, CA=b.\) Đặt

\(\overrightarrow u  = (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} )\overrightarrow {CA}  + (\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} )\overrightarrow {AB}\)\(  + (\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} )\overrightarrow {BC}  .\)

Chứng minh rằng

a) \(\overrightarrow u  =  - abc\left( {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right);\)

b) Nếu ABC là tam giác đều thì \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \);

c) Nếu \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) thì ABC là tam giác đều.

Giải

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = ca.\cos ({180^0} - B).\overrightarrow {CA}  + ab.\cos ({180^0} - C).\overrightarrow {AB}  + bc.\cos ({180^0} - A).\overrightarrow {BC} \\     =  - ca.\cos B.\overrightarrow {CA}  - ab.\cos C.\overrightarrow {AB}  - bc.\cos A.\overrightarrow {BC} \\     =  - abc\left( {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right).\end{array}\)

b) Nếu tam giác \(ABC\) đều thì \(a=b=c,\) \(\cos A=\cos B=\cos C,\) từ đó suy ra \(\overrightarrow u  =  - {a^2}.\cos A.(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} )\)\( = \overrightarrow 0 .\)

c) Nhân vô hướng vec tơ \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) lần lượt với \(\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} ,  \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} ,  \dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}\), ta có:\(\overrightarrow u .\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} = 0\), suy ra \(\cos B - 2\cos C.\cos A = 0\).

Tương tự ta có \(\cos C - 2\cos A.\cos B = 0 ;\)\( \cos A - 2\cos B.\cos C = 0\).

Rút \(\cos B\) từ đẳng thức đầu và thay vào đẳng thức thứ hai, ta có \(\cos C - 4{\cos ^2}A.\cos C = 0\) mà \(\cos C \ne 0\) ( vì nếu \(\cos C = 0\) thì \(\cos B = 0\), \(\widehat B = \widehat C = {90^0}\), vô lí) nên \({\cos ^2}A = \dfrac{1}{4}\) hay \(\cos A =  \pm \dfrac{1}{2}\). Vậy \(\widehat A = {60^0}\), hoặc \(\widehat A = {120^0}\).

Tương tự như vậy, góc \(C\) hoặc bằng \(60^0\) hoặc bằng \(120^0\). Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^0\), nên chỉ có thể có \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\). Vậy \(ABC\) là tam giác đều.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan