Bài 22 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại \(M\). Gọi \(P\) là trung điểm đoạn thẳng \(AD\). Chứng minh rằng : \(MP \bot BC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} .\)

Giải

(h.32).

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD} ).(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\\= \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \\= \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \end{array}\)

( Do \(AC \bot BD\) nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC}  = 0\)).

Từ đó ta có

\(\begin{array}{l}MP \bot BC   \Leftrightarrow   \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\Leftrightarrow   \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} .\end{array}\)

Sachbaitap.com