Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 19 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 19 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho đa giác đều \(A_1A_2…A_n\) nội tiếp trong đường tròn \((O ; R)\) và một điểm \(M\) thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng:

a) \(\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}}\) \(+ ... + \cos \widehat {MO{A_n}} = 0;\)

b) \(MA_1^2 + MA_2^2 + ... + MA_n^2\) có giá trị không đổi.

Giải

a) Theo định nghĩa của tích vô hướng ta có ( với mỗi \(i \in \left\{ {1,2,...,n} \right\}\)):

\(\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {O{A_i}}  = OM.O{A_i}.\cos \widehat {MO{A_i}}\)

\(= {R^2}\cos \widehat {MO{A_i}}.\)

Do đó

\(\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}} \)\(+ ... + \cos \widehat {MO{A_n}} = \dfrac{1}{{{R^2}}}\overrightarrow {OM} .(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ).\)

Theo bài 7( chương I) thì \(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}}  = \overrightarrow 0 \), nên :

\(\cos \widehat {MO{A_1}} + \cos \widehat {MO{A_2}}\)\( + ... + \cos \widehat {MO{A_n}} = 0\).

b) Ta có

\(\begin{array}{l}MA_1^2 + MA_2^2 + ... + MA_n^2 \\= {\overrightarrow {M{A_1}} ^2} + {\overrightarrow {M{A_2}} ^2} + ... + {\overrightarrow {M{A_n}} ^2}\\= {(\overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OM} )^2} + {(\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OM} )^2} + ... + {(\overrightarrow {O{A_n}}  - \overrightarrow {OM} )^2}   \\ = OA_1^2 + OA_2^2 + ... + OA_n^2 + nO{M^2} - 2(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + ... + \overrightarrow {O{A_n}} ).\overrightarrow {OM} \\= {R^2} + {R^2} + ... + {R^2} + n{R^2} - 0 = 2n{R^2}.\\\end{array}\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan