Bài 19 trang 103 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\,\left\{ \matrix{  x = 2 - 3t \hfill \cr  y = 1 + t \hfill \cr}  \right.\)

và \({d_2}:\,\left\{ \matrix{  x =  - 1 - 2t'. \hfill \cr  y = 3 - t'. \hfill \cr}  \right.\);

a) Tìm tọa độ giao điểm \(M\) của \(d_1\) và \(d_2\).

b) Viết phương trinh tham số và phương trình tổng quát của:

- Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d_1\);

- Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d_2\).

Giải

a) Tọa độ của \(M\) ứng với nghiệm \(t, t’\) của hệ \(\left\{ \matrix{  2 - 3t =  - 1 - 2t'. \hfill \cr  1 + t = 3 - t'. \hfill \cr}  \right.\).

Giải hệ ta được \(t =  \dfrac{7}{5} ,  t' =  \dfrac{3}{5}\). Từ đó ta tính được \(M = \left( { -  \dfrac{{11}}{5} ;  \dfrac{{12}}{5}} \right)\).

b) \(d_1\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} ( - 3 ; 1)\).

Đường thẳng \({\Delta _1}\) qua \(M\) và vuông góc với \(d_1\) nên\({\Delta _1}\)có phương trình tổng quát:

\( - 3.\left( {x +  \dfrac{{11}}{5}} \right) + 1.\left( {y -  \dfrac{{12}}{5}} \right) = 0\) hay \(3x-y+9=0.\)

Từ phương trình tổng quát, cho \(x=t\), ta được phương trình tham số của \({\Delta _1}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 9 + 3t\end{array} \right.\).

Tương tự, đường thẳng  \({\Delta _2}\) qua \(M\) và vuông góc với \(d_2\) có phương trình tổng quát : \(2x + y + 2 = 0\) và phương trình tham số : \(\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y =  - 2 - 2t'\end{array} \right.\).

Sachbaitap.com