Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 26 trang 104 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 26 trang 104 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác \(ABC\) với \(A=(-1 ; 0), B=(2 ; 3), C=(3 ; -6)\) và đường thẳng \(\Delta : x - 2y - 3 = 0\).

a) Xét xem đường thẳng \(\Delta \) cắt cạnh nào của tam giác.

b) Tìm điểm M trên \(\Delta \) sao cho \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất.

Giải

a)  Thay lần lượt tọa độ của \(A, B, C\) vào vế trái phương trình của \(\Delta \), ta được:

\( - 1 - 3 =  - 4 ;\) \(   2 - 2.3 - 3 =  - 7 ;\) \(   3 - 2.( - 6) - 3 = 12\).

Vậy \(A, B\) nằm về một  phía của \(\Delta \), còn \(C\) nằm về phía kia. Do đó \(\Delta \) cắt hai cạnh \(AC\) và \(BC\) của tam giác \(ABC.\)

b) Cách 1:

Xét \(M(2y+3 ; y) \in \Delta \) thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}\) \(  = ( - 6y - 5 ;  - 3y - 3)\).

Khi đó

\(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\)

\( = \sqrt {{{(6y + 5)}^2} + {{(3y + 3)}^2}}\)

\(  = \sqrt {45{y^2} + 78y + 34} \).

\(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất  \( \Leftrightarrow   45{y^2} + 78y + 34\) nhỏ nhất \(y =  -  \dfrac{{13}}{{15}}\).

Từ đó ta tìm được \(M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ;  -  \dfrac{{13}}{{15}}} \right)\).

Cách 2: 

Do \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)) nên \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow    |\overrightarrow {MG} |\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow   M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên \(\Delta \). Ta tìm được \(M = \left( { \dfrac{{19}}{{15}} ;  -  \dfrac{{13}}{{15}}} \right)\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan