Bài 53 trang 14 SBT Hình học 10 Nâng cao

Tam giác \(ABC\) là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) \(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} |\)

b) Vec tơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \) vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} \).

Giải

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì từ giả thiết suy ra \(2AM=BC\). Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

b) Từ giả thiết, ta có

\(\begin{array}{l}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ).(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} ) = 0\\\Leftrightarrow \,\,(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ).(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} ) = 0\\\Leftrightarrow \,\,A{B^2} - A{C^2} = 0.\end{array}\)

Vậy tam giác \(ABC\) là tam giác cân, đáy \(BC\).

Sachbaitap.com