Bài 74 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lập phương trình chính tắc của hypebol \((H)\) biết

a) Một tiêu điểm là \((5 ; 0)\), mọt đỉnh là \((-4 ; 0);\)

b) Độ dài trục ảo bằng \(12,\) tâm sai bằng \( \dfrac{5}{4};\)

c) Một đỉnh là \((2 ; 0),\) tâm sai bằng \( \dfrac{3}{2};\)

d) Tâm sai bằng \(\sqrt 2 \), \((H)\) đi qua điểm \(A(-5 ; 3);\)

e) \((H)\) đi qua hai điểm \(P(6 ;  - 1) ,  Q( - 8 ; 2\sqrt 2 )\).

Giải

Hypebol \((H)\) có phương trình chính tắc : \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1   (a > 0, b > 0)\).

a) \((5 ; 0)\) là một tiêu điểm  \( \Rightarrow c = 5;(-4 ; 0)\) là một đỉnh \( \Rightarrow   a = 4\).

\({b^2} = {c^2} - {a^2} = 25 - 16 = 9   \).

Phương trình của \((H)\) : \( \dfrac{{{x^2}}}{{16}} -  \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).

b)

\(\begin{array}{l}2b = 12   \Rightarrow   b = 6 , \\  e =  \dfrac{5}{4}    \Leftrightarrow     \dfrac{c}{a} =  \dfrac{5}{4}   \\\Leftrightarrow    \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{25}}{{16}}    \Leftrightarrow     \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{25}}{{16 }} \\  \Leftrightarrow     \dfrac{{{a^2} + 36}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{25}}{{16}}    \Rightarrow    {a^2} = 64\end{array}\)

Vậy phương trình của \((H)\):  \( \dfrac{{{x^2}}}{{64}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{36}} = 1\)

c) \(a = 2 ,  e =  \dfrac{c}{a}    \Leftrightarrow  \dfrac{3}{2} =  \dfrac{c}{2}    \Leftrightarrow  c = 3\). Do đó \({b^2} = {c^2} - {a^2} = 5\).

Phương trình của \((H)\): \( \dfrac{{{x^2}}}{4} -  \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1\)

d)

\(\begin{array}{l}e = \sqrt 2    \Leftrightarrow    \dfrac{c}{a} = \sqrt 2 \\   \Leftrightarrow   {c^2} = 2{a^2}   \Leftrightarrow   {a^2} + {b^2} = 2{a^2}  \\  \Leftrightarrow {a^2} = {b^{2   }}\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\A \in (H)    \Rightarrow    \dfrac{{25}}{{{a^2}}} -  \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra : \({a^2} = {b^2} = 16\).

Phương trình của (H): \( \dfrac{{{x^2}}}{{16}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

e)

\(P2 \in (H)  ,  Q \in (H)   \\ \Rightarrow    \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{36}}{{{a^2}}} -  \dfrac{1}{{{b^2}}} = 1\\ \dfrac{{64}}{{{a^2}}} -  \dfrac{8}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.    \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 32\\{b^2} = 8.\end{array} \right.\)

Phương trình của \((H)\): \( \dfrac{{{x^2}}}{{32}} -  \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1\).

Sachbaitap.com