Bài 75 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lập phương trình chính tắc của hypebol \((H)\) biết

a) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là \(x =  \pm  \dfrac{1}{2} ,  y =  \pm 1\);

b) Một đỉnh là \((3 ; 0)\) và phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là \({x^2} + {y^2} = 16\);

c) Một tiêu điểm là \((-10 ; 0)\) và phương trình các đường tiệm cận là \(y =  \pm  \dfrac{{4x}}{3}\);

d) \((H)\) đi qua \(N(6 ; 3)\) và góc giữa hai đường tiệm cận bằng \(60^0\).

Giải

\((H)\) có phương trình chính tắc: \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

a) \(a =  \dfrac{1}{2} ,  b = 1   \Rightarrow \) phương trình của \((H)\) : \( \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\).

b) \((3; 0)\) là một đỉnh của \((H) \Rightarrow   a = 3\). Các giao điểm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở với trục \(Ox\) là các tiêu điểm của \((H)\). Vậy \(c = 4 ,  {b^2} = {c^2} - {a^2} = 7\).

Phương trình của \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{9} -  \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1\).

c) \(c=10\). Các tiệm cận có phương trình \(y =  \pm  \dfrac{4}{3}x\), nên \( \dfrac{b}{a} =  \dfrac{4}{3}\), suy ra \( \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{{4^2} + {3^2}}}{3} =  \dfrac{{25}}{9}\)   hay \( \dfrac{{{{10}^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{25}}{9}\). Vậy \({a^2} = 36,  {b^2} = 64\).

Phương trình của \((H): \dfrac{{{x^2}}}{{36}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

d) Phương trìn các đường tiệm cận là \(y =  \pm  \dfrac{b}{a}x\). Do góc giữa hai đường tiệm cận là 60⁰ và hai đường tiệm cận đối xứng với nhau qua Ox, nên có hai trường hợp:

- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng 30⁰, suy ra \( \dfrac{b}{a} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{30^0} =  \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\).   (1)

- Góc giữa mỗi tiệm cận và trục hoành bằng \(60^0\), suy ra \( \dfrac{b}{a} = \tan {60^0} = \sqrt 3 \).   (2)

\(N \in (H)   \Rightarrow     \dfrac{{36}}{{{a^2}}} -  \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\)          (3)

Từ (1) và (3) suy ra \({a^2} = 9,  {b^2} = 3\). Ta được hypebol \((H_1):  \dfrac{{{x^2}}}{9} -  \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1\).

Từ (2) và (3) suy ra \({a^2} = 33 ,  {b^2} = 99\). Ta được hypebol \((H_2):  \dfrac{{{x^2}}}{{33}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{99}} = 1\).

Sachbaitap.com