Bài 78 trang 115 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hai điểm \(A(-1 ; 0), B(1 ; 0)\) và đường thẳng \(\Delta : x -  \dfrac{1}{4} = 0\).

a) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MB=2MH,\) với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên\(\Delta \).

b) Tìm tập hợp các điểm \(N\) sao cho các đường thẳng \(AN\) và \(BN\) có tích các hệ số góc bằng \(2.\)

Giải

a) Xét \(M(x ; y).\) Ta có

\(\begin{array}{l}MB = 2MH    \Leftrightarrow   M{B^2} = 4M{H^2}  \\  \Leftrightarrow  {(x - 1)^2} + {y^2} = 4{\left( {x -  \dfrac{1}{4}} \right)^2}\\\Leftrightarrow   3{x^2} - {y^2} =  \dfrac{3}{4}   \\ \Leftrightarrow     \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{4}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{3}{4}}} = 1.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Tập hợp các điểm \(M\) cần tìm là hypebol có phương trình (1).

b) Xét \(N(x ; y)\) thì \(\overrightarrow {AN}  = (x + 1 ; y),  \overrightarrow {BN}  = (x - 1 ; y)\). Rõ ràng \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 1\) (vì nếu không thì các đường thẳng \(AN\) và \(BN\) lần lượt có hệ số góc \({k_1} =  \dfrac{y}{{x + 1}},  {k_2} =  \dfrac{y}{{x - 1}}\).

Khi đó :

\({k_1}.{k_2} = 2    \Leftrightarrow     \dfrac{y}{{x + 1}}. \dfrac{y}{{x - 1}} = 2\)

\(    \Leftrightarrow     \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2} - 1}} = 2    \Leftrightarrow    {y^2} = 2{x^2} - 2 \)

\(   \Leftrightarrow    \dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{2} = 1   \)         (2)

Tập hợp các điểm \(N\) cần tìm là hypebol có phương trình (2) bỏ đi hai đỉnh : \((-1 ; 0)\) và \((1 ; 0).\)

Sachbaitap.com