Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 79 trang 116 SBT Hình học 19 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 79 trang 116 SBT Hình học 19 Nâng cao

Tìm các điểm trên hypebol \((H): 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\) thỏa mãn

a)  Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông;

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới góc \(120^0;\)

c) Có tọa độ nguyên.

Giải

Viết lại phương trình của \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).

\({a^2} = 1   \Rightarrow a = 1  , \) \( {b^2} = 4   \Rightarrow   b = 2 ,\) \(  {c^2} = {a^2} + {b^2} = 5   \Rightarrow c = \sqrt 5  ,\) \(  e =  \dfrac{c}{a} = \sqrt 5 \).

\((H)\) có các tiêu điểm : \({F_1}( - \sqrt 5  ; 0) , \) \( {F_2}(\sqrt 5  ; 0)\).

a) Gọi \(M(x ; y)\) là điểm cần tìm. Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {x + \sqrt 5  ; y} \right) , \\ \overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {x - \sqrt 5  ; y} \right)\\{F_1}M \bot {F_2}M    \Leftrightarrow   \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0\\ \Leftrightarrow   \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) + {y^2} = 0  \\  \Leftrightarrow   {x^2} + {y^2} - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\M \in (H)    \Leftrightarrow 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}\).

Giải hệ (1) và (2) ta được: \(x =  \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ,  y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy bốn điểm cần tìm là : \(\left( { \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

b) Gọi \(N(x ; y)\) là điểm cần tìm.

\(N \in (H)    \Rightarrow |N{F_1} - N{F_2}| = 2a = 2\).

Trong tam giác \(F_1NF_2\), ta có

\(\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 = {F_1}{N^2} + {F_2}{N^2}\\ - 2.{F_1}N.{F_2}N.\cos \widehat {{F_1}N{F_2}}\\ = {({F_1}N - {F_2}N)^2} + 2.{F_1}N.{F_2}N\\ - 2{F_1}N.{F_2}N.\cos {120^0}\\= 4 + 3{F_1}N.{F_2}N\\ = 4 + 3.|a + ex|.|a - ex|\\= 4 + 3|{a^2} - {e^2}{x^2}|\\ \Rightarrow 4{c^2} = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow 4.5 = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow |1 - 5{x^2}| =  \dfrac{{16}}{3} \\    \Leftrightarrow   {x^2} =  \dfrac{{19}}{{15}}   \Leftrightarrow    x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \end{array}\)

Thay \(x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \) vào phương trình của (H), ta được \(y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}\).

Vậy có bốn điểm cần tìm là: \(\left( { \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}}  ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right)\).

c) Do \((H)\) nhận \(Ox, Oy\) là các trục đối xứng, nên ta chỉ xét những điểm \((x ; y)\) của \((H)\) mà : \(x. y\) nguyên, \(x \ge 0 ,  y \ge 0\), rồi sau đó ta tìm những điểm đối xứng với những điểm này qua trục \(Ox\) và \(Oy.\)

Ta có

\(4{x^2} - {y^2} - 4 = 0 \)

\(    \Leftrightarrow   (2x - y)(2x + y) = 4\)   (1).

Do \(2x-y,  2x+y\) nguyên, \(2x + y \ge 0\) và \(2x + y \ge 2x - y\), nên từ (1)  ta có các trường hợp :

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x + y = 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)    , \\    \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2\\2x + y = 2\end{array} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Hệ (2) không có nghiệm nguyên, hệ (3) có một nghiệm nguyên là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).

Vậy những điểm trên \((H)\) có tọa độ nguyên là : \((1 ; 0), (-1 ; 0).\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan