Bài 79 trang 116 SBT Hình học 19 Nâng cao

Tìm các điểm trên hypebol \((H): 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\) thỏa mãn

a)  Nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông;

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới góc \(120^0;\)

c) Có tọa độ nguyên.

Giải

Viết lại phương trình của \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{1} -  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).

\({a^2} = 1   \Rightarrow a = 1  , \) \( {b^2} = 4   \Rightarrow   b = 2 ,\) \(  {c^2} = {a^2} + {b^2} = 5   \Rightarrow c = \sqrt 5  ,\) \(  e =  \dfrac{c}{a} = \sqrt 5 \).

\((H)\) có các tiêu điểm : \({F_1}( - \sqrt 5  ; 0) , \) \( {F_2}(\sqrt 5  ; 0)\).

a) Gọi \(M(x ; y)\) là điểm cần tìm. Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {x + \sqrt 5  ; y} \right) , \\ \overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {x - \sqrt 5  ; y} \right)\\{F_1}M \bot {F_2}M    \Leftrightarrow   \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0\\ \Leftrightarrow   \left( {x + \sqrt 5 } \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) + {y^2} = 0  \\  \Leftrightarrow   {x^2} + {y^2} - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\M \in (H)    \Leftrightarrow 4{x^2} - {y^2} - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \end{array}\).

Giải hệ (1) và (2) ta được: \(x =  \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ,  y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}\).

Vậy bốn điểm cần tìm là : \(\left( { \pm  \dfrac{3}{{\sqrt 5 }} ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\).

b) Gọi \(N(x ; y)\) là điểm cần tìm.

\(N \in (H)    \Rightarrow |N{F_1} - N{F_2}| = 2a = 2\).

Trong tam giác \(F_1NF_2\), ta có

\(\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 = {F_1}{N^2} + {F_2}{N^2}\\ - 2.{F_1}N.{F_2}N.\cos \widehat {{F_1}N{F_2}}\\ = {({F_1}N - {F_2}N)^2} + 2.{F_1}N.{F_2}N\\ - 2{F_1}N.{F_2}N.\cos {120^0}\\= 4 + 3{F_1}N.{F_2}N\\ = 4 + 3.|a + ex|.|a - ex|\\= 4 + 3|{a^2} - {e^2}{x^2}|\\ \Rightarrow 4{c^2} = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow 4.5 = 4 + 3|1 - 5{x^2}|\\ \Leftrightarrow |1 - 5{x^2}| =  \dfrac{{16}}{3} \\    \Leftrightarrow   {x^2} =  \dfrac{{19}}{{15}}   \Leftrightarrow    x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \end{array}\)

Thay \(x =  \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}} \) vào phương trình của (H), ta được \(y =  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}\).

Vậy có bốn điểm cần tìm là: \(\left( { \pm \sqrt { \dfrac{{19}}{{15}}}  ;  \pm  \dfrac{4}{{\sqrt {15} }}} \right)\).

c) Do \((H)\) nhận \(Ox, Oy\) là các trục đối xứng, nên ta chỉ xét những điểm \((x ; y)\) của \((H)\) mà : \(x. y\) nguyên, \(x \ge 0 ,  y \ge 0\), rồi sau đó ta tìm những điểm đối xứng với những điểm này qua trục \(Ox\) và \(Oy.\)

Ta có

\(4{x^2} - {y^2} - 4 = 0 \)

\(    \Leftrightarrow   (2x - y)(2x + y) = 4\)   (1).

Do \(2x-y,  2x+y\) nguyên, \(2x + y \ge 0\) và \(2x + y \ge 2x - y\), nên từ (1)  ta có các trường hợp :

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\2x + y = 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)    , \\    \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 2\\2x + y = 2\end{array} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Hệ (2) không có nghiệm nguyên, hệ (3) có một nghiệm nguyên là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).

Vậy những điểm trên \((H)\) có tọa độ nguyên là : \((1 ; 0), (-1 ; 0).\)

Sachbaitap.com