Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 80 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 80 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hypebol \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Gọi \(F_1, F_2\) là các tiêu điểm và \(A_1, A_2\) là các đỉnh của \((H)\). \(M\) là điểm tùy ý trên \((H)\) có hình chiếu trên \(Ox\) là \(N\). Chứng minh rằng

a) \(O{M^2} - M{F_1}.M{F_2} = {a^2} - {b^2}\);

b) \({(M{F_1} + M{F_2})^2} = 4(O{M^2} + {b^2})\);

c) \(N{M^2} =  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}.\overline {N{A_1}} .\overline {N{A_2}} \).

Giải

(1.116).

 

\(M(x ; y)  \in (H)   \Leftrightarrow    \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} -  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1, \)

\(  M{F_1} = \left| {a +  \dfrac{c}{a}x} \right|  ,  M{F_2} = \left| {a -  \dfrac{c}{a}x} \right|.\)

a)Ta có

\(\begin{array}{l}O{M^2} - M{F_1}.M{F_2}\\ = {x^2} + {y^2} - \left| {{a^2} -  \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} \right|\\ = {x^2} + {y^2} - \left| {{a^2} - {c^2}\left( {1 +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}}} \right)} \right|\\ = {x^2} + {y^2} - \left| { - {b^2} -  \dfrac{{{c^2}}}{{{b^2}}}{y^2}} \right|\\ = {x^2} + {y^2} - {b^2} -  \dfrac{{{c^2}}}{{{b^2}}}{y^2}\\ = {a^2} +  \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{y^2} + {y^2} - {b^2} -  \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{b^2}}}{y^2}\\ = {a^2} - {b^2}.\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}{(M{F_1} + M{F_2})^2} \\= {(M{F_1} - M{F_2})^2} + 4M{F_1}.M{F_2}\\ = 4{a^2} + 4\left| {{a^2} -  \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}{x^2}} \right|\\= 4{a^2} + 4{b^2} +  \dfrac{{4{c^2}}}{{{b^2}}}{y^2} (1)\\4(O{M^2} + {b^2}) = 4({x^2} + {y^2} + {b^2}) \\= 4{x^2} + 4{y^2} + 4{b^2}\\= 4\left( {{a^2} +  \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}}{y^2}} \right) + 4{y^2} + 4{b^2}\\= 4{a^2} + 4{b^2} + 4{y^2}\left( { \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + 1} \right)\\= 4{a^2} + 4{b^2} +  \dfrac{{4{c^2}}}{{{b^2}}}{y^2}.(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

c)

\(\begin{array}{l}M{N^2} = {y^2}.\\ \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}.\overline {N{A_1}} .\overline {N{A_2}}\\  =  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}( - x - a)( - x + a)\\ =  -  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}({a^2} - {x^2}) =  - {b^2} +  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}{x^2}\\=  - {b^2} + {b^2}\left( {1 +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}}} \right) = {y^2}.\end{array}\)

Vậy \(N{M^2} =  \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}.\overline {N{A_1}} .\overline {N{A_2}} \).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan