Bài 81 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hypebol \((H): { \dfrac{x}{4}^2} -  \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1\) và đường thẳng \(\Delta : x - y + 4 = 0\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M, N\) thuộc hai nhánh khác nhau của \((H) (x_M < x_N);\)

b) Gọi \(F_1\) là tiêu điểm trái và \(F_2\) là tiêu điểm phải cả \((H)\). Xác định \(m\) để \(F_2N=2F_1M.\)

Giải

a) \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{4} -  \dfrac{{{y^2}}}{5}\)

\(= 1    \Leftrightarrow   5{x^2} - 4{y^2} - 20 = 0\).

\({a^2} = 4   \Rightarrow   a = 2 , \) \( {b^2} = 5   \Rightarrow   b = \sqrt {5  } ,\) \(  {c^2} = {b^2} + {a^2} = 9   \Rightarrow   c = 3\).

\((H)\) có hai nhánh : nhánh trái ứng với \(x \le  - 2\), nhánh phải ứng với \(x \ge 2\). Hoành độ giao điểm của \((H)\) và \(\Delta \) là nghiệm của phương trình :

\(5{x^2} - 4{(x + m)^2} - 20 = 0\) hay  \({x^2} - 8mx - 4({m^2} + 5) = 0\).        (1)

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi \(m\). Do đó \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) thuộc hai nhánh khác nhau.

Theo giả thiết \(x_M < x_N\) nên \(M\) thuộc nhánh trái, \(N\) thuộc nhánh phải.

b) \((H)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - 3 ; 0) ,  {F_2}(3 ; 0)\).

\(\begin{array}{l}{F_2}N = \left| {a -  \dfrac{c}{a}{x_N}} \right| = \left| {2 -  \dfrac{3}{2}{x_N}} \right| \\=  \dfrac{3}{2}{x_N} - 2   ({x_N} \ge 2)\\{F_1}M = \left| {a +  \dfrac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {2 +  \dfrac{3}{2}{x_M}} \right|\\ =  -  \dfrac{3}{2}{x_M} - 2   ({x_M} \le  - 2)\\{F_2}N = 2{F_1}M \\   \Leftrightarrow   \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 = 2\left( { -  \dfrac{3}{2}{x_M} - 2} \right)  \\  \Leftrightarrow   3{x_N} + 6{x_M} + 4 = 0   (2)\end{array}\)

\({x_M}, {x_N}\) là nghiệm của (1) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 8m \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)                  \\{x_M}.{x_N} =  - 4({m^2} + 5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Giải (2) và (3) ta được: \({x_M} =  -  \dfrac{4}{3} - 8m ,\) \(  {x_N} =  \dfrac{4}{3} + 16m\). Thay \({x_M}, {x_N}\) vào (4) ta có

\(\begin{array}{l}\left( { -  \dfrac{4}{3} - 8m} \right)\left( { \dfrac{4}{3} + 16m} \right)\\ =  - 4({m^2} + 5)  \\  \Leftrightarrow   279{m^2} + 72m - 41 = 0\\ \Leftrightarrow  m =  \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}} .\end{array}\)

Vậy với \(m =  \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}}\) thì \({F_2}N = 2{F_1}M\).

Sachbaitap.com