Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 81 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 81 trang 116 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hypebol \((H): { \dfrac{x}{4}^2} -  \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1\) và đường thẳng \(\Delta : x - y + 4 = 0\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M, N\) thuộc hai nhánh khác nhau của \((H) (x_M < x_N);\)

b) Gọi \(F_1\) là tiêu điểm trái và \(F_2\) là tiêu điểm phải cả \((H)\). Xác định \(m\) để \(F_2N=2F_1M.\)

Giải

a) \((H):  \dfrac{{{x^2}}}{4} -  \dfrac{{{y^2}}}{5}\)

\(= 1    \Leftrightarrow   5{x^2} - 4{y^2} - 20 = 0\).

\({a^2} = 4   \Rightarrow   a = 2 , \) \( {b^2} = 5   \Rightarrow   b = \sqrt {5  } ,\) \(  {c^2} = {b^2} + {a^2} = 9   \Rightarrow   c = 3\).

\((H)\) có hai nhánh : nhánh trái ứng với \(x \le  - 2\), nhánh phải ứng với \(x \ge 2\). Hoành độ giao điểm của \((H)\) và \(\Delta \) là nghiệm của phương trình :

\(5{x^2} - 4{(x + m)^2} - 20 = 0\) hay  \({x^2} - 8mx - 4({m^2} + 5) = 0\).        (1)

Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi \(m\). Do đó \(\Delta \) luôn cắt \((H)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\) thuộc hai nhánh khác nhau.

Theo giả thiết \(x_M < x_N\) nên \(M\) thuộc nhánh trái, \(N\) thuộc nhánh phải.

b) \((H)\) có các tiêu điểm \({F_1}( - 3 ; 0) ,  {F_2}(3 ; 0)\).

\(\begin{array}{l}{F_2}N = \left| {a -  \dfrac{c}{a}{x_N}} \right| = \left| {2 -  \dfrac{3}{2}{x_N}} \right| \\=  \dfrac{3}{2}{x_N} - 2   ({x_N} \ge 2)\\{F_1}M = \left| {a +  \dfrac{c}{a}{x_M}} \right| = \left| {2 +  \dfrac{3}{2}{x_M}} \right|\\ =  -  \dfrac{3}{2}{x_M} - 2   ({x_M} \le  - 2)\\{F_2}N = 2{F_1}M \\   \Leftrightarrow   \dfrac{3}{2}{x_N} - 2 = 2\left( { -  \dfrac{3}{2}{x_M} - 2} \right)  \\  \Leftrightarrow   3{x_N} + 6{x_M} + 4 = 0   (2)\end{array}\)

\({x_M}, {x_N}\) là nghiệm của (1) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 8m \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)                  \\{x_M}.{x_N} =  - 4({m^2} + 5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Giải (2) và (3) ta được: \({x_M} =  -  \dfrac{4}{3} - 8m ,\) \(  {x_N} =  \dfrac{4}{3} + 16m\). Thay \({x_M}, {x_N}\) vào (4) ta có

\(\begin{array}{l}\left( { -  \dfrac{4}{3} - 8m} \right)\left( { \dfrac{4}{3} + 16m} \right)\\ =  - 4({m^2} + 5)  \\  \Leftrightarrow   279{m^2} + 72m - 41 = 0\\ \Leftrightarrow  m =  \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}} .\end{array}\)

Vậy với \(m =  \dfrac{{ - 12 \pm \sqrt {1415} }}{{93}}\) thì \({F_2}N = 2{F_1}M\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan