Bài 90 trang 118 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho parabol \((P)\) có đường chuẩn \(\Delta \) và tiêu điểm \(F\). Gọi \(M, N\) là hai điểm trên \((P)\) sao cho đường tròn đường kính \(MN\) tiếp xúc với \(\Delta \). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) đi qua \(F.\)

Giải

(h.122).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\) còn \(M’, I’, N’\) theo tứ tự là hình chiếu cuông góc của \(M, I, N\) trên \(\Delta \). Khi đó

\(II' =  \dfrac{1}{2}(MM' + NN')\)

\(=  \dfrac{1}{2}(MF + NF)\)                         (1)

(do \(M, N  \in (P)\)).

Vì đường tròn đường kính \(MN\) (tâm là \(I\)) tiếp xúc với \(\Delta \) nên \(II' =  \dfrac{1}{2}MN\).         (2)

Từ (1) và (2) suy ra \9MN=MF+NF.\) Vậy \(M, F, N\) thẳng hàng.

Sachbaitap.com