Câu 13 trang 240 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giả xử \({x_1}\) và \({x_2}\) là các nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) trong đó \(ac \ne 0.\) Hãy biểu diền các biểu thức sau đây qua các hệ số \(a, b, c\):

a) \({x_2}{x_1}^2 + {x_1}{x_2}^2;\)

b) \({x_1} - {x_2};\)

c) \(x_1^2 - x_2^2.\)

Giải:

a) \({x_2}x_1^2 + {x_1}x_2^2 = {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) =  - \dfrac{{bc}}{{{a^2}}}\)

b) Ta có \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}.} \)

Suy ra:

Nếu \({x_1} - {x_2} \ge 0\) thì \({x_1} - {x_2} = \sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .\)

Nếu \({x_1} - {x_2} \le 0\) thì \({x_1} - {x_2} =  - \sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .\)

c) \(x_1^2 - x_2^2 = \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\). Sử dụng kết quả câu b):

Nếu \({x_1} - {x_2} \ge 0\) thì \(x_1^2 - x_2^2 =  - \dfrac{b}{a}\sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .\)

Nếu \({x_1} - {x_2} \le 0\) thì \(x_1^2 - x_2^2 = \dfrac{b}{a}\sqrt {\dfrac{{{b^2} - 4ac}}{{{a^2}}}} .\)

Sachbaitap.com