Câu 17 trang 240 SBT Đại số 10 Nâng cao

a) Chứng minh rằng đối với ba số a, b, c tùy ý, ta có

\(\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| \ge \left| {a + b + c} \right|.\)

Đẳng thức xảy ra khi nào?

b) Áp dụng. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(f\left( x \right) = \left| {x + 2} \right| + \left| {x + 1} \right| + \left| {2x - 5} \right|.\)

Giải:

a) \(\left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right| \)

\(= \left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right) + \left| c \right| \ge \left| {a + b} \right| + \left| c \right| \ge \left| {a + b + c} \right|\)

Đẳng thức xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}ab \ge 0\\\left( {a + b} \right)c \ge 0\end{array} \right.\) tức là \(a \ge 0,b \ge 0,c \ge 0\) hoặc \(a \le 0,b \le 0,c \le 0.\)

b)

 \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \left| {x + 2} \right| + \left| {x + 1} \right| + \left| {2x - 5} \right|\\ = \left| {x + 2} \right| + \left| {x + 1} \right| + \left| {5 - 2x} \right|\\ \ge \left| {x + 2 + x + 1 + 5 - 2x} \right| = 8\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn tại \(x = 1\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) là 8.

Sachbaitap.com