Câu 1.32 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

a) \(4\sin x - 3\cos x = 5\) 

b) \(3\cos x + 2\sqrt 3 \sin x = {9 \over 2}\)

c) \(3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\)                                       

d) \(2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\)

Giải              

a) \(x = \beta  + {\pi  \over 2} + k2\pi ,\)với \(\cos \alpha  = {4 \over 5}\) và \(\sin \alpha  = {3 \over 5}\)

b) \({3^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 21.\) Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {21} \), ta được phương trình

                                \({2 \over {\sqrt {21} }}\cos x + {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }}\sin x = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)

Hiển nhiên có thể chọn \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {21} }}\) và  \(\sin \alpha  = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }} = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và chọn được \(\beta \) sao cho \(\cos \beta  = {9 \over {2\sqrt {21} }}.\) Khi đó phương trình đã cho trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta ;\) nó có nghiệm \(x = \alpha  \pm \beta  + k2\pi \) (trong đó \(\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {21} }},\sin \alpha  = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)) đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho.

c) 

Chia hai vế cho \(\sqrt {13;} \) chọn \(\alpha \) thỏa mãn \(\cos \alpha  = {9 \over {\sqrt {13} }},\sin \beta  = {2 \over {\sqrt {13} }}.\) Bài toán dẫn đến phương trình \(\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin \left( {{\pi  \over 2} - \alpha } \right)\)

Suy ra: \(x = {\pi  \over 4} - \alpha  + k\pi ,x = {\pi  \over 4} + k\pi \)

d) 

Phương trình được viết thành \({2 \over {\sqrt {13} }}\sin 2x + {3 \over {\sqrt {13} }}\cos 2x = \sin 14x\) hay \(\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin 14x\)

Suy ra: \(x = {\pi  \over {12}} + {{k\pi } \over 6},x = {{\pi  - \alpha } \over {16}} + k{\pi  \over 8},\) trong đó \(\cos \alpha  = {2 \over {\sqrt {13} }},\sin \alpha  = {3 \over {\sqrt {13} }}.\)

sachbaitap.com