Câu 152 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho hình vuông DEBC. Trên cạnh CD lấy điểm A, trên tia đối của tia DC lấy điểm K, trên tia đối tia ED lấy điểm M sao cho CA = DK = EM. Vẽ hình vuông DKIH (H thuộc cạnh DE). Chứng minh rằng ABMI là hình vuông.

Giải:                                                                 

Xét ∆ CAB và ∆ EMB :

CA = ME (gt)

\(\widehat C = \widehat E = {90^0}\)

CB = EB (tính chất hình vuông)

Do đó: ∆ CAB = ∆ EMB (c.g.c)

⇒ AB = MB (1)

AK = DK +DA

CD = CA + AD

mà CA = DK nên AK = CD

Xét ∆ CAB và ∆ KIA :

CA = KI (vì cùng bằng DK)

\(\widehat C = \widehat K = {90^0}\)

CB = AK (vì cùng bằng CD)

Do đó: ∆ CAB = ∆ KIA (c.g.c)

⇒ AB = AI (2)

DH = DK (vì KDHI là hình vuông)

EM = DK (gt)

⇒ DH + HE = HE + EM

hay DE = HM

Xét ∆ HIM và ∆ EMB :

HI = EM (vì cùng bằng DK)

\(\widehat H = \widehat E = {90^0}\)

HM = EB (vì cùng bằng DE)

Do đó: ∆ HIM = ∆ EMB (c.g.c)

⇒ IM = MB (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = BM = AI = IM

Tứ giác ABMI là hình thoi.

Mặt khác, ta có ∆ ACB = ∆ MEB (chứng minh trên)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {EBM}  \cr  & \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = \widehat {CBE} = {90^0} \cr} \)

Suy ra: \(\widehat {EBM} + \widehat {ABE} = {90^0}\) hay \(\widehat {ABM} = {90^0}\)

Vậy : Tứ giác ABMI là hình vuông.

Sachbaitap.com