Câu 2.19 trang 33 SBT Đại số 10 Nâng cao

a. Cho điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Hãy xác định tọa độ của điểm B, biết rằng B đối xứng với A qua trục hoành.

b. Chứng minh rằng hai đường thẳng \(y = x – 2\) và \(y = 2 – x\) đối xứng với nhau qua trục hoành.

c. Tìm biểu thức xác định hàm số \(y = f(x)\), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y = -2x + 3\) qua trục hoành.

Giải:

a. \(B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\)

b. Muốn chứng minh hai đường thẳng \((d_1)\) và \((d_2)\) đối xứng nhau qua trục hoành, ta chứng minh rằng nếu \(A(x_0 ; y_0)\) là một điểm tùy ý thuộc \((d_1)\) thì điểm đối xứng với \(A\) qua trục hoành, tức là điểm \(B(x_0 ; -y_0)\) thuộc \((d_2)\) và ngược lại. Thật vậy, gọi \((d_1)\) là đường thẳng \(y = x – 2\), \((d_2)\) là đường thẳng \(y = 2 – x\), ta có

\(A\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( {{d_1}} \right) \)

\(\Leftrightarrow {y_0} = {x_0} - 2 \)

\(\Leftrightarrow  - {y_0} = 2 - {x_0}\)

\(\Leftrightarrow B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right) \in \left( {{d_2}} \right)\)

Từ đó suy ra đpcm.

c. Tương tự như câu trên, ta dễ dàng chứng minh được rằng đồ thị của hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = -f(x)\) đối xứng với nhau qua trục hoành.

Do đó, đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y = -2x + 3\) qua trục hoành là đồ thị của hàm số \(y = -(-2x + 3)\), tức là hàm số \(y = 2x – 3.\)

Sachbaitap.com