Câu 2.2 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

a. Dùng diện tích để chứng tỏ : \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

b. Dùng diện tích để chứng tỏ : \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)với điều kiện b < a

Giải:                                                     

a. Dựng hình vuông ABCD có cạnh bằng (a + b )

Trên cạnh AB dựng điểm E sao cho AE = a, EB = b, trên cạnh BC dựng điểm H sao cho BH = b, HC = a, trên cạnh CD dựng điểm G sao cho CG = b, GD = a, trên cạnh DA dựng điểm K sao cho DK = a, KA = b, GE cắt KH tại F.

Ta có : diện tích hình vuông ABCD bằng \({\left( {a + b} \right)^2}\)

Diện tích hình vuông DKFG bằng \({a^2}\)

Diện tích hình chữ nhật AKFE bằng a.b

Diện tích hình vuông EBHF bằng \({b^2}\)

Diện tích hình chữ nhật HCGF bằng a.b

\({S_{ABCD}} = {S_{DKFG}} + {S_{AKFE}} + {S_{EBHF}} + {S_{HCGF}}\)

Vậy ta có : \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

b. Dựng hình vuông ABCD có cạnh bằng a

Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = b

Từ E dựng đường thẳng song song BC cắt CD tại G

Ta có: CG = b, CE = ( a – b ), GD = ( a – b )

Trên cạnh AD lấy điểm K sao cho AK = b

Từ K kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại H và cắt EG tại F

Ta có: KD = ( a – b ), BH = b

Hình vuông ABCD có diện tích bằng \({a^2}\)

Hình vuông DKFG có diện tích bằng  \({\left( {a - b} \right)^2}\)

Hình chữ nhật AEFK có diện tích bằng ( a – b ) b

Hình vuông EBHF có diện tích bằng \({b^2}\)

Hình chữ nhật HCGF có diện tích bằng ( a – b ).b

\({S_{ABCD}} = {S_{DKFG}} + {S_{AEFK}} = {S_{EBHF}} + {S_{HCGF}}\)

nên \({\left( {a - b} \right)^2} + \left( {a - b} \right)b + \left( {a - b} \right)b + {b^2} = {a^2}\)

\(\Rightarrow {\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Sachbaitap.com