Câu 2.7 trang 30 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bằng cách xét tỉ số \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}}\), hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó) trên các khoảng đã cho :

a. \(y = {x^2} + 4x + 1\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\)

b. \(y =  - {x^2} + 2x + 5\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)

c. \(y = {x \over {x + 1}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

d. \(y = {{2x + 3} \over { - x + 2}}\) trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)

Giải:

a. \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_2} + {x_1} + 4\)

Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right),\) ta có \({x_2} + {x_1} + 4 > 0\) nên hàm số đồng biến.

b. \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} =  - {x_2} - {x_1} + 2.\)

Trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\) ta có \( - {x_2} - {x_1} + 2 > 0\) nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right),\) ta có \( - {x_2} - {x_1} + 2 < 0\) nên hàm số nghịch biến.

c. Với hai số phân biệt \(x_1\) và \(x_2\) thuộc tập xác định của hàm số, ta có :

\(\eqalign{
& f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = {{{x_2}} \over {{x_2} + 1}} - {{{x_1}} \over {{x_1} + 1}} \cr
& = {{{x_2} - {x_1}} \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}, \cr
& {{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} \cr} \)

Do đó:

- Nếu \(x_1 < -1\) và \(x_2 < -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

- Nếu \(x_1 > -1\) và \(x_2 > -1\) thì \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\) và \({1 \over {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}} > 0,\) suy ra hàm số cũng đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

d. \({{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)} \over {{x_2} - {x_1}}} = {7 \over {\left( { - {x_2} + 2} \right)\left( { - {x_1} + 2} \right)}}.\) Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\,và\,\left( {2; + \infty } \right)\) .

Sachbaitap.com