Câu 2.9 trang 31 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) xác định trên \(R\). Đặt \(S\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) và \(P\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right).\) Chứng minh rằng :

a. Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số chẵn thì \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng là những hàm số chẵn.

b. Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số lẻ thì \(y = S\left( x \right)\) là hàm số lẻ và \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

c. Nếu \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(y = P\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Giải:

a. Dễ dàng suy ra từ giả thiết và định nghĩa hàm số chẵn.

b. Với x tùy ý thuộc R, ta có : \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\) và \(g\left( { - x} \right) =  - g\left( x \right)\) (vì f và g là những hàm số lẻ) ; do đó

\(\eqalign{
& S\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right) + g\left( { - x} \right) \cr
& = - f\left( x \right) - g\left( x \right) \cr
& = - \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] \cr
& = - S\left( x \right) \cr} \)

\(\eqalign{
& P\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right) \cr
& = \left[ { - f\left( x \right)} \right]\left[ { - g\left( x \right)} \right] \cr
& = f\left( x \right)g\left( x \right) \cr
& = P\left( x \right) \cr} \)

Vậy \(y = S(x)\) là hàm số lẻ và \(y = P(x)\) là hàm số chẵn.

c. Với \(x\) tùy ý thuộc \(R\), ta có : \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) và \(g\left( { - x} \right) =  - g\left( x \right)\) (vì \(f\) là hàm số chẵn và \(g\) là hàm số lẻ) ; do đó

\(P\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right) \)

\(= f\left( x \right)\left[ { - g\left( x \right)} \right]\)

\(=  - f\left( x \right)g\left( x \right)\)

\(=  - P\left( x \right).\)

Vậy \(y = P(x)\) là hàm số lẻ.

Sachbaitap.com