Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 3.19 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 3.19 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giả sử \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \({x^2} + 2mx + 4 = 0.\)

Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức :

\({\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + \left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right) = 3\)

Giải:

\(m =  \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\) Gọi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

\(\Delta ' = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 2.\)

Theo định lí Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - 2m}\\{{x_1}{x_2} = 4}\end{array}} \right.\)

Nên \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = \dfrac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2x_2^2}}\)

\(= \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{x_1^2x_2^2}} - 2 = \dfrac{{{{\left( {4{m^2} - 8} \right)}^2}}}{{16}} - 2\)

Ta có: \({\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {\left( {4{m^2} - 8} \right)^2} = 80\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 2 + \sqrt 5\)

\(  \Rightarrow m =  \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\)

Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(|m| ≥ 2\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan