Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải các bất phương trình :

a. \(\sqrt {x - 1}  - \sqrt {x - 2}  > \sqrt {x - 3} \)

b. \(2x\left( {x - 1} \right) + 1 > \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

c. \(\sqrt {\dfrac{{4x}}{{x - 1}}}  - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{4x}}}  > \dfrac{3}{2}\)

d. \(\sqrt {x - \dfrac{1}{x}}  - \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}  > \dfrac{{x - 1}}{x}\)

Giải:

a. \(x \in \left[ {3;\dfrac{{6 + \sqrt {12} }}{3}} \right).\).

Hướng dẫn: Phương trình viết thành

\(\sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 3} .\)

Với điều kiện \(x ≥ 3\), bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương

\(\begin{array}{l}x - 1 > 2x - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 4 - x > 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - x \ge 0}\\{{{\left( {4 - x} \right)}^2} > 4\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right).}\end{array}} \right.\end{array}\)

b. \(x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) Hướng dẫn. đặt \(t = \sqrt {{x^2} - x + 1}  \ge 0.\)

Bất phương trình trở thành \(2{t^2} - t - 1 > 0.\)

c. \(x > 1.\)

d. Viết bất phương trình về dạng :

\(\sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}}  - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  > \dfrac{{x - 1}}{x}\) hay \(\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right) > \dfrac{{x - 1}}{x}.\)

Điều kiện : \( - 1 \le x < 0\) hoặc \(x \ge 1.\)

Nhận thấy \(x = 1\) không phải là nghiệm của bất phương trình nên có thể coi \(x ≠ 1.\)

Khi đó \(\dfrac{{x - 1}}{x} > 0\) nên bất phương trình đã cho tương đương với

\(\sqrt {x + 1}  - 1 > \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  > 1 + \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \)    (*)

+ Nếu \(-1 ≤ x < 0\) thì \(\sqrt {x + 1}  < 1\) suy ra bất phương trình không có nghiệm trong nửa khoảng \(\left[ { - 1;0} \right).\)

+ Với \(x > 1\), bình phương hai vế của (*) ta đi đến :

\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có

\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = \dfrac{1}{x}\) tức là khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Vậy \(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow 1 < x \ne \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là

\(\left( {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)

Sachbaitap.com