Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải các bất phương trình :

a. \(\sqrt {x - 1}  - \sqrt {x - 2}  > \sqrt {x - 3} \)

b. \(2x\left( {x - 1} \right) + 1 > \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

c. \(\sqrt {\dfrac{{4x}}{{x - 1}}}  - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{4x}}}  > \dfrac{3}{2}\)

d. \(\sqrt {x - \dfrac{1}{x}}  - \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}}  > \dfrac{{x - 1}}{x}\)

Giải:

a. \(x \in \left[ {3;\dfrac{{6 + \sqrt {12} }}{3}} \right).\).

Hướng dẫn: Phương trình viết thành

\(\sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 3} .\)

Với điều kiện \(x ≥ 3\), bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương

\(\begin{array}{l}x - 1 > 2x - 5 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 4 - x > 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - x \ge 0}\\{{{\left( {4 - x} \right)}^2} > 4\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right).}\end{array}} \right.\end{array}\)

b. \(x \in \left( { - \infty ,0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right).\) Hướng dẫn. đặt \(t = \sqrt {{x^2} - x + 1}  \ge 0.\)

Bất phương trình trở thành \(2{t^2} - t - 1 > 0.\)

c. \(x > 1.\)

d. Viết bất phương trình về dạng :

\(\sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{x}}  - \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  > \dfrac{{x - 1}}{x}\) hay \(\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right) > \dfrac{{x - 1}}{x}.\)

Điều kiện : \( - 1 \le x < 0\) hoặc \(x \ge 1.\)

Nhận thấy \(x = 1\) không phải là nghiệm của bất phương trình nên có thể coi \(x ≠ 1.\)

Khi đó \(\dfrac{{x - 1}}{x} > 0\) nên bất phương trình đã cho tương đương với

\(\sqrt {x + 1}  - 1 > \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  > 1 + \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} \)    (*)

+ Nếu \(-1 ≤ x < 0\) thì \(\sqrt {x + 1}  < 1\) suy ra bất phương trình không có nghiệm trong nửa khoảng \(\left[ { - 1;0} \right).\)

+ Với \(x > 1\), bình phương hai vế của (*) ta đi đến :

\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)

Mặt khác, theo bất đẳng thức Cô-si ta có

\(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}} .\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = \dfrac{1}{x}\) tức là khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Vậy \(\left( {x - 1} \right) + \dfrac{1}{x} > 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{x}}  \Leftrightarrow 1 < x \ne \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình là

\(\left( {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan