Cho phương trình ẩn:
\({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\)
a. Giải phương trình với a = -3
b. Giải phương trình với a = 1
c. Giải phương trình với a = 0
d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.
Giải:
a. Khi a = -3, ta có phương trình:
\({{x - 3} \over { - 3 - x}} + {{x + 3} \over { - 3 + x}} = {{ - 3\left[ {3\left( { - 3} \right) + 1} \right]} \over {{{\left( { - 3} \right)}^2} - {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 3\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} + {{x + 3} \over {x - 3}} = {{24} \over {9 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{3 - x} \over {x + 3}} + {{x + 3} \over {x - 3}} = - {{24} \over {{x^2} - 9}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} + {{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{x^2} - 9}} = - {{24} \over {{x^2} - 9}} \cr & \Rightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {x - 3} \right) + {\left( {x + 3} \right)^2} = - 24 \cr & \Leftrightarrow 3x - 9 - {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 = - 24 \cr & \Leftrightarrow 12x = - 24 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = - 2\) (thỏa)
Vậy phương trình có nghiệm x = -2
b. Khi a = 1, ta có phương trình:
\({{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {{1\left( {3.1 + 1} \right)} \over {{1^2} - {x^2}}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 1\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x + 1} \over {1 - x}} + {{x - 1} \over {1 + x}} = {4 \over {1 - {x^2}}} \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {1 - {x^2}}} + {{\left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right)} \over {1 - {x^2}}} = {4 \over {1 - {x^2}}} \cr & \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + \left( {x - 1} \right)\left( {1 - x} \right) = 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x - {x^2} - 1 + x = 4 \cr & \Leftrightarrow 4x = 4 \cr} \)
\( \Leftrightarrow x = 1\) (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
c. Khi a = 0, ta có phương trình: \({x \over { - x}} + {x \over x} = {0 \over {-{x^2}}}\)
ĐKXĐ: \(x \ne 0\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow - x + x = 0 \cr
& \Leftrightarrow 0x = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của \(x \ne 0\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\{x \in R|x \ne 0\}\)
d. Thay \(x = {1 \over 2}\) vào phương trình, ta có:
\({{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}}\) ĐKXĐ: \(a \ne \pm {1 \over 2}\)
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{1 \over 2} + a} \over {a - {1 \over 2}}} + {{{1 \over 2} - a} \over {a + {1 \over 2}}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {1 \over 4}}} \cr & \Leftrightarrow {{1 + 2a} \over {2a - 1}} + {{1 - 2a} \over {2a + 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} + {{\left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} = {{4a\left( {3a + 1} \right)} \over {4{a^2} - 1}} \cr & \Rightarrow \left( {1 + 2a} \right)\left( {2a + 1} \right) + \left( {1 - 2a} \right)\left( {2a - 1} \right) = 4a\left( {3a + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a - 1 - 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a \cr & \Leftrightarrow 12{a^2} - 4a = 0 \cr & \Leftrightarrow 4a\left( {3a - 1} \right) = 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow 4a = 0\) hoặc \(3a - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow a = 0\) (thỏa mãn) hoặc \(a = {1 \over 3}\) (thỏa mãn)
Vậy khi a = 0 hoặc \(a = {1 \over 3}\) thì phương trình \({{x + a} \over {a - x}} + {{x - a} \over {a + x}} = {{a\left( {3a + 1} \right)} \over {{a^2} - {x^2}}}\) nhận \(x = {1 \over 2}\) làm nghiệm.
Sachbaitap.com
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục