Câu 43 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Chứng minh rằng, nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau thì:

a. Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

b. Tỉ số của hai trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

Giải:

a. Vì ∆ ABC đồng dạng ∆ A’B’C’ nên ta có:

\(\widehat A = \widehat {A'};\widehat B = \widehat {B'}\) và \({{A'B'} \over {AB}} = k\)

Lại có: \(\widehat {BAD} = {1 \over 2}\widehat A\) (gt) và \(\widehat {B'A'D'} = {1 \over 2}\widehat A\)  (gt)

Suy ra: \(\widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'}\)

Xét ∆ ABD và ∆ A’B’D’, ta có:

\(\widehat B = \widehat {B'}\)  (chứng minh trên )

\(\widehat {BAD} = \widehat {B'A'D'}\)  (chứng minh trên )

Suy ra: ∆ ABD đồng dạng ∆ A’B’D’ (g.g)

Vậy: \({{A'D'} \over {AD}} = {{A'B'} \over {AB}} = k\)

b. Vì ∆ ABC đồng dạng ∆ A’B’C’ nên \({{B'C'} \over {BC}} = k\)

Mà \(B'M' = {1 \over 2}B'C'\) và \(BM = {1 \over 2}BC\)  nên \({{B'M'} \over {BM}} = k\)

Xét ∆ ABM và ∆ A’B’M’, ta có:

\({{A'B'} \over {AB}} = {{B'M'} \over {BM}} = k\)

\(\widehat B = \widehat {B'}\) (chứng minh trên )

Suy ra: ∆ ABM đồng dạng ∆ A’B’M’ (c.g.c)

Vậy \({{A'M'} \over {AM}} = {{A'B'} \over {AB}} = k\)