Câu 4.55. trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

a. \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - \dfrac{1}{3} = 0;\)

b. \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0;\)

c. \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2} = 0;\)

d. \(\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 3 - 2m = 0.\)

Giải:

a. Ta có biệt thức \(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3}.\)

Xét tam thức \(f\left( m \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3},\) có \(a = 1\) và biệt thức \(\Delta ' =  - \dfrac{4}{3} < 0\) nên \(f(m) > 0\) với mọi m. Vậy phương trình luôn có nghiệm.

Chú ý: Ta có thể xét

\(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) \)

\(= {\left( {m - 1} \right)^2} + \dfrac{4}{3} \ge \dfrac{4}{3}.\)

b. Ta có

\(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right)\)

\(= {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình luôn luôn có nghiệm.

Chú ý : Ta có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai để làm bài tập này, học sinh tự làm.

c. Ta có

\(\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {\dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2}} \right)\)

\(= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình này luôn có nghiệm.

d. *) Nếu \(m = 1\) phương trình có nghiệm \(x = -1.\)

*) Nếu \(m ≠ 1\) ta có

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {3m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {3 - 2m} \right)\\ = 17{m^2} - 32m + 16\\ = {m^2} + 16{\left( {m - 1} \right)^2} > 0,\end{array}\)

Nên phương trình luôn có nghiệm.

Tóm lại với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm.

Sachbaitap.com