Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4.55. trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 4.55. trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

a. \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - \dfrac{1}{3} = 0;\)

b. \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0;\)

c. \({x^2} + \left( {m + 2} \right)x + \dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2} = 0;\)

d. \(\left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {3m - 2} \right)x + 3 - 2m = 0.\)

Giải:

a. Ta có biệt thức \(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3}.\)

Xét tam thức \(f\left( m \right) = {m^2} - 2m + \dfrac{7}{3},\) có \(a = 1\) và biệt thức \(\Delta ' =  - \dfrac{4}{3} < 0\) nên \(f(m) > 0\) với mọi m. Vậy phương trình luôn có nghiệm.

Chú ý: Ta có thể xét

\(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - \dfrac{1}{3}} \right) \)

\(= {\left( {m - 1} \right)^2} + \dfrac{4}{3} \ge \dfrac{4}{3}.\)

b. Ta có

\(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 3} \right)\)

\(= {\left( {m - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình luôn luôn có nghiệm.

Chú ý : Ta có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai để làm bài tập này, học sinh tự làm.

c. Ta có

\(\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {\dfrac{3}{4}m + \dfrac{1}{2}} \right)\)

\(= {\left( {m + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \ge \dfrac{7}{4} > 0,\) nên phương trình này luôn có nghiệm.

d. *) Nếu \(m = 1\) phương trình có nghiệm \(x = -1.\)

*) Nếu \(m ≠ 1\) ta có

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {3m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {3 - 2m} \right)\\ = 17{m^2} - 32m + 16\\ = {m^2} + 16{\left( {m - 1} \right)^2} > 0,\end{array}\)

Nên phương trình luôn có nghiệm.

Tóm lại với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan