Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 4.57 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 4.57 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

a.\({x^2} - 4{ {x + }}m - 5\)

b.\({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8\,m + 1\)

c. \({x^2} + 4{ {x}} + {\left( {m - 2} \right)^2}\)

d. \(\left( {3m + 1} \right){x^2} - \left( {3m + 1} \right)x + m + 4.\)

Giải:

a. Ta có \(\Delta ' = 4 - \left( {m - 5} \right) = 9 - m\) và tam thức có \(a = 1 > 0\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta ' = 9 - m < 0 \Leftrightarrow m > 9.\)

b. Tam thức đã cho có biệt thức

\(\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) \)

\(= {m^2} - 28m= m\left( {m - 28} \right)\) và \(a = 1\).

Tam thức luôn dương khi và chỉ khi:

\(\Delta  = m\left( {m - 28} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 28.\)

c. Ta có \(\Delta ' = 4 - {\left( {m - 2} \right)^2} =  - {m^2} + 4m\) và hệ số \(a = 1\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta  =  - {m^2} + 4m < 0 \Leftrightarrow m > 4\) hoặc \(m < 0\).

d. *) Nếu \(3m + 1 = 0\) thì \(m =  - \dfrac{1}{3}.\) Khi đó biểu thức luôn dương với mọi \(x\).

*) Nếu \(m \ne  - \dfrac{1}{3}\) thì tam thức đã cho có biệt thức

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {3m + 1} \right)^2} - 4\left( {m + 4} \right)\left( {3m + 1} \right)\\ = \left( {3m + 1} \right)\left( { - m - 15} \right)\\ =  - 3{m^2} - 46m - 15\\ =  - \left( {3{m^2} + 46m + 15} \right).\end{array}\)

Tam thức luôn dương khi và chỉ khi

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{a = 3m + 1 > 0 \hfill \cr \Delta < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > {{ - 1} \over 3} \hfill \cr \left( {3m + 1} \right)\left( {m + 15} \right) > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( * \right) \cr} \)

\(\Leftrightarrow m >  - {1 \over 3}\) hoặc \(m <  - 15\)

Kết hợp với (*) suy ra \(m >  - \dfrac{1}{3}.\) Tóm lại với \(m \ge  - \dfrac{1}{3}\) thì biểu thức luôn dương với mọi \(x\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan