Câu 4.57 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

a.\({x^2} - 4{ {x + }}m - 5\)

b.\({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8\,m + 1\)

c. \({x^2} + 4{ {x}} + {\left( {m - 2} \right)^2}\)

d. \(\left( {3m + 1} \right){x^2} - \left( {3m + 1} \right)x + m + 4.\)

Giải:

a. Ta có \(\Delta ' = 4 - \left( {m - 5} \right) = 9 - m\) và tam thức có \(a = 1 > 0\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta ' = 9 - m < 0 \Leftrightarrow m > 9.\)

b. Tam thức đã cho có biệt thức

\(\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) \)

\(= {m^2} - 28m= m\left( {m - 28} \right)\) và \(a = 1\).

Tam thức luôn dương khi và chỉ khi:

\(\Delta  = m\left( {m - 28} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 28.\)

c. Ta có \(\Delta ' = 4 - {\left( {m - 2} \right)^2} =  - {m^2} + 4m\) và hệ số \(a = 1\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta  =  - {m^2} + 4m < 0 \Leftrightarrow m > 4\) hoặc \(m < 0\).

d. *) Nếu \(3m + 1 = 0\) thì \(m =  - \dfrac{1}{3}.\) Khi đó biểu thức luôn dương với mọi \(x\).

*) Nếu \(m \ne  - \dfrac{1}{3}\) thì tam thức đã cho có biệt thức

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {3m + 1} \right)^2} - 4\left( {m + 4} \right)\left( {3m + 1} \right)\\ = \left( {3m + 1} \right)\left( { - m - 15} \right)\\ =  - 3{m^2} - 46m - 15\\ =  - \left( {3{m^2} + 46m + 15} \right).\end{array}\)

Tam thức luôn dương khi và chỉ khi

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{a = 3m + 1 > 0 \hfill \cr \Delta < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > {{ - 1} \over 3} \hfill \cr \left( {3m + 1} \right)\left( {m + 15} \right) > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( * \right) \cr} \)

\(\Leftrightarrow m >  - {1 \over 3}\) hoặc \(m <  - 15\)

Kết hợp với (*) suy ra \(m >  - \dfrac{1}{3}.\) Tóm lại với \(m \ge  - \dfrac{1}{3}\) thì biểu thức luôn dương với mọi \(x\).

Sachbaitap.com