Câu 4.60 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải các bất phương trình :

a. \(\dfrac{{2{ {x}} - 5}}{{{x^2} - 6{ {x}} - 7}} < \dfrac{1}{{x - 3}}\)

b. \(\dfrac{{{x^2} - 5{ {x + 6}}}}{{{x^2} + 5{ {x}} + 6}} \ge \dfrac{{x + 1}}{x}\)

c. \(\dfrac{2}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} \ge \dfrac{{2{ {x}} - 1}}{{{x^3} + 1}}\)

d. \(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} \le 0.\)

Giải:

a. Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình :

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2{ {x}} - 5}}{{{x^2} - 6{ {x}} - 7}} - \dfrac{1}{{x - 3}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2{ {x}} - 5} \right)\left( {{ {x}} - 3} \right) - \left( {{{ {x}}^2} - 6{ {x}} - 7} \right)}}{{\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{ {x}} - 7} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{ {x}}^2} - 5{ {x}} + 22}}{{\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{ {x}} - 7} \right)}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Tam thức \({x^2} - 5{ {x}} + 22\) có \(a = 1 > 0,\) \(\Delta  =  - 63 < 0,\) nên \(\,{x^2} - 5{ {x}} + { {22 > 0}}\) với mọi \(x\). Suy ra (*) tương đương với \(\left( {{ {x}} - 3} \right)\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{ {x}} - 7} \right) < 0.\)

Lập bảng xét dấu :

Từ bảng xét dấu suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là :

\(T = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3;7} \right)\)

b. Bất phương trình được biến đổi tương đương thành :

\(\dfrac{{11{{ {x}}^2} + 5{ {x}} + 6}}{{x\left( {{{ {x}}^2} + 5{ {x}} + 6} \right)}} \le 0.\)

Suy ra tập nghiệm là : \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 2;0} \right).\)

c. Bất phương trình được biến đổi tương đương với :

\(\dfrac{{\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}{{\left( {{ {x}} + 1} \right)\left( {{{ {x}}^2} - x + 1} \right)}} \ge 0.\)

Suy ra tập nghiệm là : \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;2} \right]\)

d. Bất phương trình được biến đổi tương đương với :

\(\dfrac{{{x^2} + { {x}} - 1}}{{\left( {{ {x}} - 1} \right)\left( {{ {x}} + { {1}}} \right)x}} \le 0.\)

Suy ra tập nghiệm là : \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right] \cup \left( { - 1;0} \right) \cup \left[ {\dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};1} \right)\).

Sachbaitap.com