Câu 4.68 trang 114 SBT Đại số 10 Nâng cao

Tìm các giá trị của tham số m để mỗi bất phương trình sau nghiệm đúng mọi giá trị x :

a. \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3m - 3 \ge 0;\)

b. \(\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 < 0;\)

c. \(\dfrac{{{{ {x}}^2} - 8{ {x}} + 20}}{{m{{ {x}}^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 9m + 4}} < 0;\)

d. \(\dfrac{{3{{ {x}}^2} - 5{ {x}} + 4}}{{\left( {m - 4} \right){x^2} + \left( {1 + m} \right)x + 2m - 1}} > 0.\)

Giải:

a. \(m ≥ 1.\)

b. Không tồn tại m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).

c. Ta thấy tam thức \({x^2} - 8{ {x}} + { {20}}\) có \(a = 1 > 0, ∆’ = 16 – 20 = -4 < 0.\)

Suy ra \({x^2} - 8{ {x}} + 20 > 0\) với mọi \(x\). Do đó bài toán trở thành tìm các giá trị m để bất phương trình \(m{{ {x}}^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 9m + 4 < 0\left( * \right)\) đúng với mọi \(x\).

Nếu \(m = 0\) bất phương trình (*) trở thành \(2x + 4 < 0\), bất phương trình chỉ nghiệm đúng với \(x < -2\), nên \(m = 0\) không thỏa mãn.

Nếu \(m ≠ 0\). Để bất phương trình (*) đúng với mọi x thì điều kiện cần và đủ là :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 0}\\{\Delta ' = {{\left( {m + 1} \right)}^2} - m\left( {9m + 4} \right) < 0.}\end{array}} \right.\)

Ta thấy tam thức \(\Delta ' =  - 8{m^2} - 2m + 1\) có hai nghiệm là \({m_1} =  - \dfrac{1}{2},{m_2} = \dfrac{1}{4}\) nên \(\,\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m <  - \dfrac{1}{2}\) hoặc \(m > \dfrac{1}{4}.\) Kết hợp với điều kiện m < 0, suy ra các giá trị cần tìm của m là \(m <  - \dfrac{1}{2}.\)

d. \(m > 5.\)

Sachbaitap.com